高校数学 三角関数

質問

水平な地面に垂直に塔が建っている。
目の高さ１．５ｍの人が地面のある地点Aに建って塔の頂上を見上げると、
仰角（視線が水平面となす角）がθであった。
ただし、θ＞０ とする。
この人が塔に向かって160m近づいて見上げると、仰角が2θになった。
さらに、100m近づいて見上げると、仰角が4θになった。
以下の問いに答えよ。

(1)cosθの値を求めよ
(2)塔の高さを求めよ。
(3)同じ人が地点Aから塔に向かって何m近づくと、塔の頂上を仰角が３θとなるか。

この問題の解き方がわかりません。
どなたかわかりやすく教えてください。
お願いします。

回答No.3

FT56F001 · ベストアンサー

mlさんの記号を借ります。
仰角θで人の目の高さの地点をA，塔の頂点をV，その真下をOとする。
仰角が2θの地点をB，仰角が4θの地点をCとする。XO=a，AO＝Xとする。

三角形ABVにおいて，
∠BAV+∠ABV+∠BVA=180゜
∠BAV=θ，∠ABV=180゜-2θより∠BVA=θとなり，
二等辺三角形である。よって，AB=BV=160m
同様に，三角形BCVは二等辺三角形でBC=CV=100m
よって
160sin(2θ)=a
100sin(4θ)=a
sin(4θ)=2sin(2θ)cos(2θ)より
cos(2θ)=0.8
cosθ=√{(1+cos(2θ)/2}=√0.9
sinθ=√0.1
tanθ=1/3
sin(2θ)=0.6

塔の高さ=1.5+a=1.5+160sin(2θ)=1.5+160*0.6=97.5m
mlさんの式，tanθ=a/xに代入して，AO=X=288m

tan(3θ)={3tanθ-(tanθ)^3}/{1-3(tanθ)^2}
={3/3-1/27}/{1-3/9}=13/9
仰角3θとなる点はAから，
288-(96÷tan(3θ))=2880/13[m]の位置。

お礼

ありがとうございました

回答No.2

mister_moonlight

人の目の高さの地点をＡ、塔の頂点をＶ、その真下をＯとする。仰角が2θの地点をＢ、仰角が4θの地点をＣとする。又、ＶＯ＝a、ＡＯ＝xとする。
tanθ＝a/x‥‥(1)、tan2θ＝a/(x-160)‥‥(2)、tan4θ＝a/(x-260)‥‥(3)だから、tan2θ＝(2*tanθ)/(1-tan＾2θ)の公式を使う。又、tan4θ＝(2*tan2θ)/(1-tan＾2　2θ)。
(1)と(2)から、xとaの2次方程式が出る。(2)と(3)から4次方程式が出るが、(1)と(2)から　x＾2＝320*x-a＾2だから、それを使って次数を下げるといいだろう。いずれにしても、方程式を解くだけなんだが。

他に、正弦定理を使っても良いが、どの解法でも　計算は面倒そうだ。

お礼

ありがとうございました
トライしてみます

回答No.1

hrsmmhr

塔のてっぺんをA、塔の人の目の高さの位置をB、塔の高さをh+1.5(m)、人の目の高さの位置をX

(1)(2)
仰角θはB⇔Xの距離x(m)のときのθ=∠AXBです
仰角2θはB⇔X'の距離x-160(m)のときの2θ=∠AX'Bです(X'は最初の位置から160m近づいた時の目の高さの位置)
仰角4θはB⇔X''の距離x-260(m)のときの4θ=∠AX''Bです(X''は最初の位置から260m近づいた時の目の高さの位置)
なので
cosθ=BX/AX,cos2θ=BX'/AX',cos4θ=BX''/AX''のcosθ,h,xを変数とする3つの連立方程式から
計算します。塔の高さはh+1.5なのでABはh(m)として、cos2θ=2cos^2θ-1の倍角公式を使います

(3)
こちらも同様に
仰角3θはB⇔X’’’の距離x-x'(m)のときの3θ=∠AX'''Bとしてcos3θ=BX'''/AX'''から計算します
cos3θは三倍角の公式で計算すれば(1)(2)で出したx,h,cosθで計算できます

お礼

ありがとうございました
参考にします