にゃんこ先生、接二次曲線というものを考える
平面における滑らかな曲線上の一点とその近傍を考えます。
一次関数で近似することは、接線と呼ばれます。
一次の係数の符号で、右肩上がりか右肩下がりかが判別できます。
一次の係数の符号が変化する場所は、極値と呼ばれます。
二次関数で近似するとします。
ニ次の係数の符号で、凹凸が判断できます。
ニ次の係数の符号が変化する場所は、変曲点と呼ばれます。
n次関数で近似することは、テイラー展開と呼ばれます。
円で近似することは、曲率円と呼ばれます。
曲率円の半径の逆数で、曲がり具合が判別できます。
ここで考えたのが、二次曲線で近似することです。
統計的に集められた点を、二次曲線で近似しながら結ぶという話は聞いたことがありますが、ここでは、y=x^3上の点(a,a^3)の近傍とか、y=e^x上の点(a,e^a)の近傍を、二次曲線で近似するという意味です。
二次曲線は異なる5点で決定するので、近傍の5点をとって二次曲線を作り、その極限を考えればよさそうですが、計算が複雑ゆえに、上の参考例の二次曲線近似さえ手計算できていません。
計算できた方は、計算の仕方や結果を教えていただけないでしょうか？
また、二次曲線を楕円、放物線、双曲線と分類すると、二次曲線近似が放物線になるときは、通常は一瞬だけだと思います。
なにかのもとの曲線があり、その上の点の近傍での二次曲線近似が放物線になるときを、視覚的に感じられたりできるのでしょうか？
また、二次曲線近似が、楕円→放物線→双曲線と変化していくようないい例があればぜひ教えてください。
