微分方程式の解法
この数日間、色々試してみたのですが、途中でつまづいてしまいました…。分かる方がいたら、是非教えてください。
(1)x^2-y^2+2xy*dy/dx=0
[初期条件x=1,y=2]
以下、私がつまづいたところまで解いてみます。
1-y^2/x^2+2y/x*dy/dx=0
u=y/x,y=uxとすると、dy/dx=u+xdu/dx
1-u^2+2u(u+xdu/dx)=0
1+u^2+2ux*du/dx=0
2ux*du/dx=-u^2-1
2uxdu=(-u^2-1)dx
2u/(-u^2-1)*du=1/x*dx
-∫2u/(u^2+1)*du=∫1/x*dx
-log【u^2+1】=log【x】+C
※【 】は絶対値です。
log【u^2+1】+log【x】=-C
log【u^2+1】＊【x】=-C
log【u^2+1】＊【x】=loge^-C
【u^2+1】＊【x】=e^-C
(u^2+1)x=±e^-C
b=±e^-Cとすると
(u^2+1)x=b
(y^2/x^2+1)x=b
ここで、初期条件x=1,y=2を代入すると
b=5
(y^2/x^2+1)x=5
y^2+x^2=5x …なぜかここで詰まりました。
最後はy=…の形にするんですよね？
この後はどうしたらよいのでしょうか？
あるいは、途中で間違っているのでしょうか？
(2)x*dy/dx+y=y^2logx
[初期条件x=1,y-1/2]
dy/dx+y/x=y^2/x*logx
dy/dx=y/x*ylogx-1)
dx/y=dx/x*(ylogx-1)
∫1/y*dy=∫1/x*(ylogx-1)dx
log【y】= … xとyが分けきれてない…。
…と、ここで詰まってしまいました。
ヒントだけでも結構ですので、分かる方がいたら、是非教えてください。長々と失礼しました。
お礼
ありがとうございます。