同次形の微分方程式の解き方を教えて下さい！

質問

3xy^3 dy/dx=x^3+y^3

の解き方のプロセスを詳しく教えていただけないでしょうか？
教科書には置換によって変数分離形になると書いてありました。

回答No.2

Mr_Holland · ベストアンサー

＃１です。
　補足を拝見しました。
＞同次形にならないときはどういうときなのでしょうか？

　通常、1階微分方程式で同次形になるというのは、y'をｙとｘだけの関数　y'＝f(x,y)　と書くことができたとして、任意のx,y,tに対して、
　　f(tx,ty)＝f(x,y)
となることを言います。

　この問題では、
　　3xy^3 y'＝x^3 +y^3
　∴y'＝(x^3+y^3)/(3xy^3)≡f(x,y)
となりますから、f(tx,ty)は
　　f(tx,ty)＝{t^3(x^3+y^3)} / { t^4 3xy^3 }＝f(x,y)/t
となって、任意のｔに対して成立しないことになります。
　従って、
＞教科書によると式を変形してからy＝xuとy'＝u+xu'を代入すると書いてあるのですが・・・。
と書かれているような変数変換では、変数分離形にもっていくことができないと思います。
　もっとも他に適切な変数変換でもあれば変数分離形に持っていくことができるかもしれませんが、その場合は同次形とは言えないでしょう。

　なお、以下に同次形となる一般的な条件を以下に記しておきますので、参考にして下さい。

　微分方程式を
　　Ｆ(x,y,y',y'',・・・,y^(n) )＝０　　（ただし、y^(n)はｙのn階微分を表す。）
の形で表して、任意のx,y,y',y'',・・・,y^(n),tに対して、
　　Ｆ(x,ty,ty',ty'',・・・,ty^(n) )＝t^r Ｆ(x,y,y',y'',・・・,y^(n) )
となるとき、「微分方程式Ｆ＝０はｙについて同次」となります。
　また、同様に、
　　Ｆ(tx,y,y'/t,y''/t^2,・・・,y^(n)/t^n )＝t^r Ｆ(x,y,y',y'',・・・,y^(n) )
となるとき、「微分方程式Ｆ＝０はｘについて同次」となります。
　そして、
　　Ｆ(tx,t^m・y,t^(m-1)・y',t^(m-2)・y'',・・・,t^(m-n)・y^(n) )＝t^r Ｆ(x,y,y',y'',・・・,y^(n) )
となるとき、「微分方程式Ｆ＝０はｘ、ｙについて同次」となります。

　この問題の微分方程式では、このいずれにも当てはまらないように思います。

補足

ありがとうございます。
ではどのようにして解くといいのでしょうか？
解も知りたいです。

回答No.1

Mr_Holland

質問の式は同次形にはならないと思うのですが。

　同次形の場合のとき方は、ｙ＝ｘｕとおいて、微分方程式を変数分離形に持ち込みます。

　微分方程式が
　　dy/dx＝f(y/x)
という形に変形できたとしますと、
　　y＝xu　　⇒　dy/dx＝u+x(du/dx)
　∴u+x(du/dx)＝f(u)
　⇔du/dx＝{f(u)-u}/x
　∴du/{f(u)-u}＝dx/x

補足

早速ありがとうございます。
教科書によると式を変形してからy＝xuとy'＝u+xu'を代入すると書いてあるのですが・・・。
同次形にならないときはどういうときなのでしょうか？