回路の過渡解析

質問

R=1Ω、L=１H、C=１F、電源E ＝５VのRLC直列回路がある。ｔ＝０でスイッチを入れた。このとき、ｔ＞＝０でコイルに流れる電流i(t)を、i(t)に関する微分方程式を立てて求めよ。ただし、コンデンサの初期電荷、コイルの初期電流は共に０とする。

という問題を解いているのですが、途中で詰まってしまいました。

とりあえず微分方程式は
　i''+i'+i=0
よって、i（ｔ）=(e^(-t/2))*(Asin(√（3）t/2)+Bcos(√（3）t/2)
（A、B；定数）
また、コイルの初期電流が０であることから上式にi(0)=0を代入し、B=０

ここまでは求められたのですが、コンデンサの初期電荷を０とするという条件を適用するところでつまづいてしまいました。どなたかわかる方ご教授いただけないでしょうか。よろしくお願い致しますm(_ _)m

回答No.2

inara1 · ベストアンサー

i'' + i' + i = 0 の解は
　　　i(t) = exp(-t/2)*{ A*sin (√3*t/2) - B*cos(√3*t/2) }
じゃないですか？初期条件 i(0) = 0 から B = 0 になります。

微分方程式を出す前に、各素子の電圧に関する式
　　　R*i +L*i ' + (1/C)*∫ i dt = E
を出していると思いますが、t = 0 のときにコンデンサの初期電圧が 0 なら、(1/C)*∫i dt = 0 です。このとき、i = 0 ですから、結局、t = 0 のとき
　　　L*i ' = E
というのが2つ目の初期条件になります。計算すると A = 10/√3 になると思います。

お礼

なるほど！よく理解できました。ありがとうございますm(_ _)m

回答No.1

nantokasensi

回路に沿って式を立てると、

L・(di/dt)+R・i+(1/C)∫idt=E

この式において、電荷をqとすれば、
i=dq/dt
q=∫idt
の関係を代入して、
L・(dq/dt)＾2+R・dq/dt+q/C=E

これを長々と解いて、途中で比例定数を決定するときに、初期条件を与えて決定します。

お礼

参考になりました。ありがとうございますm(_ _)m