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RLC回路 過渡解析

直流電源-スイッチ-抵抗-コイル-コンデンサが直列につながれていて 直流電源5V 抵抗1Ω コイル1H コンデンサ1F t<0 のときスイッチOFF コンデンサ電圧v(t)=0 回路に電流は流れていない t=0でスイッチON t>0の時のコンデンサ電圧v(t)を教えてください。

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t≧0での回路方程式は v+iR+Ldi/dt=5 i=Cdv/dt R,C,Lの値を代入すると v+i+di/dt=5u(t) ...(1) i=dv/dt ...(2) (2)を(1)を代入 v+dv/dt+d^2(v)/dt^2=5 (t≧0) ...(3) v+dv/dt+d^2(v)/dt^2=0の一般解v1(t)を求める。 特性方程式  s^2+s+1=0 ∴s=(-1±j√3)/2 ∴v1(t)={C1sin(t√3/2)+C2cos(t√3/2)}e^(-t/2)[V] (3)の特殊解v2(t)を求める。 v2(t)=5[V] (3)の一般解は v(t)=5+{C1sin(t√3/2)+C2cos(t√3/2)}e^(-t/2)[V] ...(4) (2)より i=dv/dt ={((√3/2)C1-(1/2)C2)cos(t√3/2) -((√3/2)C2+(1/2)C1)sin(t√3/2)}e^(-t/2) t=0[s]の初期条件から  v(0+)=v(0-)=0[V]なので  0=5+C2 ∴C2=-5  i(0+)=0[A]より  (√3/2)C1-(1/2)(-5)=0 ∴C1=-5/√3 (4)にC1,C2を代入して  ∴v(t)=5-5{(1/√3)sin(t√3/2)+cos(t√3/2)}e^(-t/2)[V]

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その他の回答 (2)

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#1さんと同様だけど、微分方程式をラプラス変換使って解くと、多少楽かも。 電圧方程式は、e=Ri+Ldi/dt+q/C, i=dq/dt, v=q/C 、これをi(0)=0,q(0)=0の条件でラプラス変換すると、E/s=RI+sLI+Q/C,Q=I/s, V=Q/C で、Vについて解くとV=E/(s(LCs^2+CRs+1))。 これに実際の数値を代入すると、 V=5/(s(s^2+s+1))=5(1/s-(s+1)/(s^2+s+1))=5*(1/s-((s+0.5)+0.5)/((s+0.5)^2+0.75))。 これを逆ラプラス変換すると v=5(1-exp(-0.5t)(cos(√3 t/2)+1/√3*sin(√3 t/2)) かな。

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  • 回答No.2

取り敢えず、1Ωの抵抗がぶっ壊れるかな。

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