ケプラーの法則について

質問

この問題が分かりません。
問題は
万有引力定数 G = 6.673×10－11Nm2 /kg2
[1] 惑星の公転運動が、太陽を中心とする等速円運動であると仮定して以下の問いに答えよ。
(1) ケプラーの第２法則を証明せよ。
(2) 惑星の公転の速さは、太陽からの距離とともにどのように変化するか。 [距離の平方根に反比例]
です。
回答よろしくお願いします。

回答No.1

sanori · ベストアンサー

こんにちは。

円軌道を含む平面でＸ座標とＹ座標を作り、太陽の位置を原点Ｏ（０，０）と置きます。
円軌道の半径をｒ、時刻をｔ、周期をＴ、太陽の質量をＭと置きます。

すると、円軌道は、Ｘ座標とＹ座標に分けて
ｘ　＝　ｒcos（２πｔ／Ｔ　＋　ａ）
ｙ　＝　ｒsin（２πｔ／Ｔ　＋　ａ）
と（当然ながら）書くことができます。
（ａは任意定数）

（１）
速度は
ｖx　＝　ｄｘ／ｄｔ　＝　－２πｒ／Ｔ・sin（２πｔ／Ｔ　＋　ａ）
ｖy　＝　ｄｙ／ｄｔ　＝　２πｒ／Ｔ・cos（２πｔ／Ｔ　＋　ａ）

面積速度は
ｒ・√（ｖx^2　＋　ｖy^2）　＝　２πｒ^2／Ｔ・（sin^2（２πｔ／Ｔ　＋　ａ）＋cos^2（２πｔ／Ｔ　＋　ａ））
　＝　２πｒ^2／Ｔ
　＝　一定
となります。

（２）
加速度は、
ａx　＝　ｄｖx／ｄｔ　＝　－４π^2ｒ／Ｔ^2・cos（２πｔ／Ｔ　＋　ａ）
ａy　＝　ｄｖy／ｄｔ　＝　－４π^2ｒ／Ｔ^2・sin（２πｔ／Ｔ　＋　ａ）
加速度の絶対値は、
√（ａx^2　＋　ａy^2）　＝　４π^2ｒ／Ｔ^2
これが　ＧＭ／ｒ^2　と等しいので、
４π^2ｒ／Ｔ^2　＝　ＧＭ／ｒ^2
Ｔ　＝　√（４π^2ｒ^3／ＧＭ）　＝　ｒ^(3/2)・２π／√（ＧＭ）

よって、
周期Ｔ　∝　ｒ^(3/2)
ということは、
角速度　∝　１／Ｔ　∝　ｒ^(-3/2)
ということは、
公転の速さ　∝　角速度×ｒ　∝　ｒ^(-3/2)×ｒ　＝　ｒ^(-1/2)　＝　１／√ｒ
というわけで
公転の速さ　∝　１／√ｒ
となります。

余談ですが、（１）の面積速度一定の法則については、大学で力学を習ったら、引力が距離の「２乗」に反比例しなくても（１乗でも３乗でも１００乗でも）成り立つことを知って、びっくりしたものです。

回答No.3

Tacosan

第2法則は「等速円運動」という仮定だけで終わり. いったいどこに悩む必要があるというのか.
(2) は #1 の「引力 = 遠心力」から出てきたはず.

回答No.2

m0r1_2006

太陽と惑星の質量を M, m として，距離を r と置く．
１．引力を計算．
２．引力＝遠心力　なので，等速円運動の加速度が計算できる．

角速度出して，r^2 と　pi かけたら，r によらず一定をいえば
第２法則だっけ？