点と直線の関係

質問

ふと思ったのですが昔、数学の授業で直線は点の集まりであると習いましたが、点に幅（厚み？）って無いですよね？
幅の無いもの並べても線のような幅のあるものには、ならなくないですか？

ちなみにこのカテゴリはなんですか？
国語、数学、哲学あたりで迷ったんですが・・・

回答No.15

noname#221368 · ベストアンサー

#8です。「そっちの方が都合いいからってことですか？」「使いやすければいいってことですかね？」と思って欲しかったのは事実ですが、他の皆さんの応答を読んで、言い過ぎたと思いました。「使えればいい」を徹底すると、「現実とは一致しなくても、論理的に矛盾しなければ何でも数学だ」という態度にもつながるからです。この態度は、論理的には否定できないのですが、やはり極論だと思います。また#6や#8で、線分は点の集まりでない、と言っているような印象を持たれたと思いますが、そんな事は言えません。

　以下、「現実との比較テスト」という言葉を使いますが、物理的に実行可能な確認実験とでも考えて下さい。

　　(1)「線が点の集まり」という考えは、現実との比較テストを、妥当にパスしている。
　　(2)「線が点の集まりでない」という考えも、現実との比較テストを、妥当にパスしている。
　　(3)ただし、現実との比較テストを、厳密にパスする数学的考えは少ない。

　「線が点の集まり」という考えは、例えば#1さんのような立場で、妥当と思えます。しかし現実には実行できません。厚みのない面や、幅のない線は、物理的に書けないからです。これは数学的理想化です。

　「線が点の集まりでない」という考えは、例えば#5さんの立場で、妥当と思えます。しかしこれにも理想化が含まれています。線をどこまでも無限に分割する事は、物理的にできないからです。

　ほとんど全ての数学的考えには、理想化が含まれ、現実との比較テストを、厳密にパスするものは少ないです。しかし理想化するから、数学は使い出があります。現実べったりでは不可能な、論理的推測を可能にするからです。例として、実数の体系をあげます。
　実数は連続量を表すものだと、ふつうは信じ切って計算を行います。PCを使えば、10^(-300)なんて数値が平気で出てきたりします。でも例えば、10^(-300)メートルなんて長さは、一回も測られた事はありません。その意味では、実数論は数学的フィクションかも知れないんです。では実数体系は無意味かと言うと、違います。現実との比較テストを、妥当にパスしているからです。

　手計算でもPCを使っても、物理的にできる計算は有限回の演算ですが、実数論は無限回の演算を認めます。よって実数体系の中には、人間が実行可能な全ての数値計算結果が含まれています。なので実数があれば、現実に行える全ての数値計算結果が保証される訳です。さらに無限回演算の理想化によって、無理数まで推測できます。

　「線は点の集まりか？」に戻ります。答えとしては、#14さんの「単なる点の集合としての線と、長さの定義された線は、別物・・・両者を混同するから、ややこしくなる」になります。点の幅と単純に言いますが、幅（長さや面積は、一般に測度と言われます）は、「点の性質ではない」が、現在の扱いです。この考えも、現実との比較テストを妥当にパスしています。それが同じく#14さんの仰る、区間[0,1]と[0,2]の比較例です。

　位相や超準解析は、測度論に基礎を提供するといった側面も持っています。なので(1)と(2)のどちらにも馴染む定式化が採用され、測度論に結論を持つ越すのだけれど、「幅は点の性質ではない」と言われてがっかりします。だけどそれは、(1)と(2)のどちらも、数学理論の妥当な動機付けとして、採用したいという努力の結果だと思います。
　測度論の一つの結論として、有理数全体に対応する可算無限個の点を、どうやって並べようと長さ０という結果があります（測度零集合）。可算無限には、全ての有限が含まれるので、「幅のないものをいくら集めたって幅はない」という常識が保証されます。しかし可算無限を越える連続無限（実数の個数）の点を、「適切に並べる」と、ふつうの長さが得られます。「並べ方」が重要なのは、０×無限＝０である以上、「並べ方」という別の条件が必要になり、これは０×無限＝０とは別の話として処理されます。つまり、測度と０×無限＝０は、同じ土俵で考えるべきでない、という見方が導かれます。
　測度論をここまで読むと、数学は数学的フィクションかも知れないが、物理的現実を注意深く反映した厳密な理想化だと感じます。またここまで来ると、点からは目ぼしい物理的属性がどんどん剥ぎ取られ、集合の一要素といった程度の定義しか残りません。位相では位置の性質を剥ぎ取られ、超準解析では無限小線素と見分けがつかなくなり、測度では幅まで奪われます。

　これを数学的空論と感じるか、妥当な理想化（抽象化）と考えるかは、意見のわかれるところと思いますが、自分は実数などの例から、後者です。#9さんの、「数学は、数学として語るのがよいと思います。」は本当です。

　最後に、いつもいつもこんな事は考えてられない・・・、って意見はあると思います。自分の意見では、たまに考えれば良い程度です。理由は、次の2つです。

　　(4)現在ふつうに教えられてる数学は全て、現実との比較テストをパスしたものと考えて良い。
　　(5)現実との比較テストを考えなくても、数学はやれるように出来ている。

　これらが信じ切って数学を使える理由だと思います。(5)は、「現実とは一致しなくても、論理的に矛盾しなければ何でも数学だ」につながる特徴ですが、これが無いと、アマチュアが数学を使う事は不可能になります。研究の最先端にいる人達は、(4)と(5)を融通無碍に往復してるのだと、想像します。

　とは言え、こういう事が片付かないと、一歩も進めない人もたまにいます。自分には、そういう傾向があった（今もある）ので、ここまでしつこいのかも知れません・・・。

お礼

３度も長文で回答してくださり、ありがとうございます。
やはり並べかたが関わってくるんですね。
確かにこれだけ理論を並べて出てくる答えに「使いやすければいい」はちょっと失礼ですね（汗）

多くの人に回答して頂きましたが、一番多くまた分かりやすく説明してくださったこの方をベストアンサーに選ばせて頂きます。
皆さんありがとうございました。

回答No.4

boiseweb

↓過去の類似質問への私の回答（#4）を，そのまま本質問への回答とさせてください．

点の集合が長さ、面積、体積を持つ理由
http://okwave.jp/qa/q6104554.html

お礼

回答ありがとうございます。
線とただの点の集まりは別物ので点の動きのようなモノが線になるという印象を受けましたがそういうことでしょうか？

回答No.3

hrsmmhr

定義の問題ではないですか？

一直線上の木が等間隔で並んでいるときの数を数えるときは自然数本の木が線をなしています
有理数全体は数直線上に至る所にあるのに、無理数によって分離するますが図で書けば線になってしまうし
実数全体も虚数単位iのようなものが入れられて、うまく順序関係が決めることができたら
有理数全体と同じ扱いかもしれない

実数が、数学の線に関する問題を解くのに直感的に一番うまい稠密さを持っている
ということではないかと思います
集合が適当な稠密さがあって計算しやすいと（よく定義できていると）納得できたら、
線はそれらの点から成っているという表現は自然だろうと思います

お礼

回答ありがとうございます。
計算しやすいからそう定義しているということで良いでしょうか？

回答No.2

uchinogako

点をどのように定義するか。結構難しいと思います。私は極限の世界で考えるとこの問題は考えやすいのではないかと思います。例えばｆ(ｘ)＝１/ｘという関数で
limｆ(ｘ)
x→0

limｆ(ｘ)
x→+0

limｆ(ｘ)
x→-0

を求めて見てください。この３つの結果は上から『収束しない』『＋∞』『－∞』です。同じであるはずの０を代入しても結果が変わってしまう例です。

　点は、

（－部分）●（＋部分）
　　　　　↑
　　　　　数

のようになっています。少しわかりにくいですね。簡単に言えば、本の１ページと２ページが－部分と＋部分で、それを印刷している紙が点と考えて見てください。

　極限を勉強するとこの問題は解決しやすいと思いますので、１度復習されて見ると良いと思います。

お礼

回答ありがとうございます。
極限でそういう結果が出ても「そういう風に定義しているから」という気がします。
根本的な定義が分からないので。
自分が極限に詳しくないということもあると思いますが・・・

回答No.1

inainachuuchuu

立体（サイコロ）を切るとその断面は面に見えます。

面（紙）を切ると、その断面は線に見えます。

線（糸）を切ると、その断面は点に見えます。
１本の糸を細かく切りまくると、たくさんの点が出来ます。

数学の先生が、「点の集まり」って表現はしたのは、多分こういう事なのでは？？

お礼

回答ありがとうございます。
切ったらそれをつくっている要素が見えてくるということでしょうか？
それでは幅が無いのにのくだりが解決していないような・・・