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推移関係の証明について。
RとSはAと関係があると仮定します。 もしRとSが両方とも推移関係である場合、R∪Sも推移関係であるという事を証明しなさい。 という問題で。 RとSが両方相違関係だとすると。 R=∀x∀y∀z∈A(xRy∧yRz→xRz) S=∀x∀y∀z∈A(xSy∧ySz→xSz) になると思うんですが。 R∪Sがどんな形になるのかわかりません。 一応自分でやって見たんですが。 R∪S=∀x∀y∀z∈A((xRy∨xSy)∧(yRz∨ySz)→(xRz∨xSz) 正しいのかも分からないし、イメージができません。どなたかヒントでもいいので 教えていただけないでしょうか。よろしくお願いします。
- maman19
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まずおかしな点から指摘させてもらうと ・「RとSはAと関係がある」という表現はおかしい. 「R と S は A上の (2項) 関係である」というべき。 ・推移関係であるときに R=∀x∀y∀z∈A(xRy∧yRz→xRz) と書くのはよくない. 「R=」ではじめる以上, やっぱり集合として書くべきだろう. もちろん 「R は ∀x∀y∀z∈A(xRy∧yRz→xRz) を満たす」 なら OK. まあやることは ∀x∀y∀z∈A(xRy∧yRz→xRz) と ∀x∀y∀z∈A(xSy∧ySz→xSz) を仮定して ∀x∀y∀z∈A((xRy∨xSy)∧(yRz∨ySz)→(xRz∨xSz) を示す くらいでしょうか. とりあえず結論の式をばらしてから考えてはどうでしょう.
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- alice_44
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証明も何も、その定理は成立しない。 RとSが推移関係なら、R∧Sは推移関係だが、 R∨Sは推移関係とは限らない。 (xRy∧¬xSy)∧(ySz∧¬yRz) のとき 何がおこるか考えてみたら?
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