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微分方程式３
keyguyの回答
- keyguy
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非定数係数２階微分方程式に拡張しましょう。 ｐをｘの関数としｑをｘの関数としｒをｘの関数とする。 ｙ”＋ｐｙ’＋ｑｙ＝ｒをみたすｙを示す。 ｙ”＋ｐｙ’＋ｑｙ＝０の一般解をα，βを定数としてαｆ＋βｇとする。 fとgはｙ”＋ｐｙ’＋ｑｙ＝０の解だから ｆ”＋ｐｆ’＋ｑｆ＝０・・・（１） ｇ”＋ｐｇ’＋ｑｇ＝０・・・（２） である。 ａ’ｆ＋ｂ’ｇ＝０・・・（３） ａ’ｆ’＋ｂ’ｇ’＝ｒ・・・（４） を満たすｘの関数ａとｘの関数ｂすなわち ａ’＝－ｒｇ／（ｆｇ’－ｆ’ｇ） ｂ’＝ｒｆ／（ｆｇ’－ｆ’ｇ） であるａとｂについて ｚ＝ａｆ＋ｂｇはｚ”＋ｐｚ’＋ｑｚ＝ｒを満たす。 根拠： （３）と（４）により ｚ＝ａｆ＋ｂｇを微分して ｚ’＝ａｆ’＋ｂｇ’が得られｚ’を微分して ｚ”＝ａｆ”＋ｂｇ”＋ｒが得られる。 これと（１）と（２）により ｚ”＋ｐｚ’＋ｑｚ＝ｒが分かる。 なお ａ（ｘ）＝∫（０～ｘ）ａ’（ｔ）ｄｔ ｂ（ｘ）＝∫（０～ｘ）ｂ’（ｔ）ｄｔ でａとｂを求めればよい。
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