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n+1点を通るn次関数のグラフは一意に決まる?
はじめまして。 2点を通る直線は1本だけですよね、また3点を通る二次関数も一意に決まりますよね。 これはつまり、nをn≧1の整数とするとき、(n+1)点を通るn次関数のグラフは一意に決まると言えますか? また、その証明も併せて教えていただけると助かります。
- raionzumanshon
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x の n 次関数 y を y = a[n] x^n + a[n-1] x^(n-1) + ・・・ + a[1] x^1 + a[0] と書きましょう。係数 a[i] は全部で n+1 個あり、これらが決まればy が決まります。いま、n+1 個の点の座標 (x,y) が与えられるとすると、それらを上の式に代入することにより、n+1 個の式が得られます。それらの式を係数 a[i] に関する連立方程式として解くことができれば、係数が決まります。 ただし、例えば、与えられた n+1 個の点が一直線上に並んでいると、n≧2 であっても一次関数しか決まらないように、求められる関数の次数は n より低くなることがあります。 また、例えば (0,0) と (0,1) を通る直線の式は y = a[1] x + a[0] の形では求められないように、解が求められないこともあります。その場合には、座標軸を回転するなどの工夫をして考え直す必要があります。
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- usokoku
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既にある内容は略して 「直線」をどのような定義にするか、で >一意に決まりますよね。 とは言い切れません。 たとえば、平面を球体面と定義した場合(非ユークリッド幾何)は、 2点(たとえば、南極と北極)を通る直線は、無数に描けます。
- edomin7777
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n次関数の一般的な形を考えます。 例えば6次関数は ax^6+bx^5+cx^4+dx^3+ex^2+fx^1+gx^0 になります。 このときの係数の数は、「n+1個」(n乗から0乗まで)になりますから、点のx座標を代入していって出来た係数だけの式が「n+1個」になれば連立方程式で解くことが出来ます。 係数が決まれば式も決まります。
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