球をピラミッドに積む問題がわかりませ

質問

半径１ｃｍの球５個をピラミッド状に積む（下に４個２×２で、上の真ん中に１個）。
上段の球と下段の４個の球との接点を通る平面で切ったとき、
５個の球の切り口の面積の和を求めよ。

答えは5/2πのようですが、さっぱり分かりません。

どなたか解説お願い致します。

回答No.2

gohtraw · ベストアンサー

５個の球の中心を結ぶと、四角錐ができます。各辺の長さは２であり（接している球同士の中心の距離は吸の直径に等しいため）、各辺の中点が球の接点になります。この四角錐をＡＢＣＤＥ（ＢＣＤＥが正方形になる）とし、ＣＤ、ＢＥの中点をそれぞれＰ，Ｑとし、ＡＢ、ＡＣ、ＡＤ、ＡＥの中点をそれぞれＲ，Ｓ，Ｔ，Ｕとします。
　ＡＰ、およびＡＱの長さは√３なので、△ＡＰＱは三辺の長さが２、√３、√３になり、ＡからＰＱに下ろした垂線の長さは√２になります。一方Ａから正方形ＲＳＴＵに垂線を下ろすと、その長さは√２／２です（ＡＢ、ＡＣ、ＡＤ、ＡＥの中点がＲ，Ｓ，Ｔ，Ｕなので）。
　つまり、この問題の切断面は、下に並べた四つの球の中心より√２／２だけ高い位置にあります。半径１の球を中心から√２／２はなれたところで切った切り口は半径√２／２の円になります。このあたりは球の断面図を書いて考えてみて下さい。
　また、この切断面は上に乗せた球の中心（つまり点Ａ）より√２／２だけ低い所にあるので、上に乗せた球の切り口もやはり半径√２／２の円になります。

お礼

ありがとうございました！
よく分かりました。

また困った時にはよろしくお願い致します！！

回答No.1

noname#185706

下段で対角の位置にある二つの球の中心を A, B とすると、それらの距離は
AB = √{(1+1)^2+(1+1)^2} = 2√2。
上段の球の中心を C とすると、
AC = BC = 2
なので、
AC^2 + BC^2 = AB^2。
よって、△ABC は直角二等辺三角形で、
∠CAB = π/4。
よって、切り口にできる各円の半径 r は
r = (AC/2)cos(π/4)
　= 1/√2。
よって、その面積 S は
S = πr^2 = π/2。
そのような円が５個あるので、求める面積は
5 S = 5π/2。

お礼

ありがとうございます。
助かりました！