基底の向きについて

質問

ベクトル空間Vの基底が2組{v1,v2},{w1,w2}で与えられていて，{v1,v2},{w1,w2}が同じ向きという書き方を見たのですが，これはどういう意味ですか？

回答No.8

ramayana · ベストアンサー

ANo.6さんのご指摘の通り、「向き」は、ベクトルの集まりである基底自体で定まるのでなく、基底を構成するベクトルの並べ方に依存します。したがって、「座標系の向き」というべきなのでしょう。

ANo.7さんとは、問題のとらえ方が異なるようです。

補足のご質問にお答えします。変換行列の行列式の正負も、ベクトルが左か右かも、ベクトルの長さと関係ないので、v1,v2, w1,w2の長さがどれも1だという前提で示します。

v1=(cosα,sinα)、v2=(cosβ,sinβ)、w1=(cosγ,sinγ)、w2=(cosδ,sinδ)として、v1,v2からw1,w2への変換行列をAとします。すると、Aの行列式detAは、

　　detA = sin(δ-γ)/sin(β-α)

となります（下図参照）。v2がv1の左か右かは、sin(β-α)の正負で定まり、w2がw1の左か右かは、sin(δ-γ)の正負で定まるので、結局、v2とw2が同じ側かどうかは、detAの正負で定まります。

余談ですが、向きの概念は、電磁気学では基本的なテーマですし、生化学でも、L-アミノ酸とD-アミノ酸の関係を説明するのに使われます。また、球面は向き付け可能でメビウスの帯は向き付け不可能、ということをきちんと記述するためにも、向きの概念は必須です。

補足

> ramayana さん

補足に答えていただきありがとうございます．
これで「幾何学的イメージと変換行列Aの行列式の正負」の対応関係がわかりました．

ここで，No.5の方の幾何学的イメージでは，
・v1から見たときのv2の位置（左右）
・w1から見たときのw2の位置（左右）
この2つの位置関係（左右）が一致するときに，「{v1,v2}と{w1,w2}の向きが同じ」ということですが，これは言い換えると，ベクトル積 v1×v2 と w1×w2 の向きが等しいということにもなりますか？

回答No.1

178-tall

その 2 組の基底の内積が非負、ということみたいですね。

そのペアの内積が負だったら、一方の向きを反転すれば、「同じ向き」にできそう。