正規分布の問題

質問

正規分布の問題
Prob{｜x-μ｜≧Cσ}=0,01
となる定数Cを求める

これは
Prob{（｜x-μ｜-μ）/σ≧（Cσ-μ）/σ} = 0.01
Prob標準{｜ｚ｜≧C} = 0.01
という計算で合っているでしょうか？
文系のため数学がわからなくて困っています
まだ計算が終わってない気がするのですが、このあとどう計算していけばよいのでしょうか？
もし根本から間違っている場合は、解法のヒントか参考になるHPなどありましたら教えて頂けると助かります。

回答No.1

info22_ · ベストアンサー

Prob{｜x-μ｜≧Cσ}=0,01
標準正規分布N(0,1)に換算して
z=(x-μ)/σ
とおくと
Prob{|z|≧C}=0,01
書き換えると
Prob{z≦C}=1-(0.01/2)=0.995…(1)
このCの計算は正規分布の確率計算サイト
http://econom01.cc.sophia.ac.jp/stat/normprob.htm
で平均μ=0,標準偏差σ=1の正規分布、表示形式:グラフ付
右側の計算を利用し、(1)の確率を使い、確率値=0.995
と入力し[計算]ボタンを押すと計算ウインドウに
Cの値
P{x<C}=0.995またはP{C<x}=0.005
の形でC=2.57582930…と計算結果を出してくれます。

同じ計算は標準正規分布表を使ってもできますが、正規分布表そのものが有効桁数4桁くらいしかありませんのでCの計算精度は正規分布表の有効桁数分しか得られません。

なお、Microsoft Office Excelにも正規分布計算の関数が用意されていますので同じようにExcelを利用してCの値を求めることができます。

参考URL：

http://econom01.cc.sophia.ac.jp/stat/normprob.htm

回答No.5

Ishiwara

ANo.2（ANo.3）です。
ANo.3の中で自分の番号を書き間違えて、ANo.1(ANo.4)さん、および質問者さんに、たいへんご迷惑をおかけしました。おわびします。

ＡNo.2の中で私が間違えたのは、ウッカリ「絶対値記号を無視」してしまったことです。
片側検定・両側検定という言葉があります。前者は成績の良い人だけ（または悪い人だけ）を問題とするもので、絶対値記号は付けません。後者は（良いも悪いも）平均から著しく外れた人を問題とするもので、｜x－μ｜として扱います。もし文章問題を解く場合には、もともと何を解決しようとしているかによって、自分で片側か両側かを決めなくてはならないことがあります。本問は文章問題ではないので１００％私のミスでしたが。

以下のように書き直すことをお許しください。

試験の点数が正規分布だと仮定します。平均値から遠くはずれた学生を全体の0.01（１％）選ぶことにします。正規分布は左右対称だから、片側のみに着目すれば、0.005（0.5％）選ぶということです。この場合の＜境界＞は中心μからどれだけ離れているか？（σの何倍離れているかをＣとする）」

http://www.koka.ac.jp/morigiwa/sjs/standard_normal_distribution.htm
のグラフを見ます。このグラフでは面積がＰを表しますから、斜線の面積が0.5-0.005＝0.495になるところを探せばよいことになります。表で引くと 、約2.58が得られます。すなわち、C≒2.58と言えます（いわゆる「２シグマ」と「３シグマ」の中間点です）。

以下は余談ですが、2.58ｘ10＋50＝75.8（または、-2.58ｘ10＋50＝24.2） を「偏差値」と呼ぶことがあります。偏差値は問題で要求していませんが、統計学をしっかり頭に入れるために、このような見方も必要です。

回答No.4

info22_

#1です。

#3さんがおかしなことを言って見えますが無視して下さい。
Microsoft Office Excelを使って同じ問題を解いてみます。
Excel関数として=NORMINV(下側確率;平均値;標準偏差)を使います。

Prob(|z|=|X-μ|/σ≧C)=0.01
Prob(z=(X-μ)/σ≧C)=0.005
Prob(z=(X-μ)/σ≦C)=1-0.005=0.995
下側確率Prob(z=(X-μ)/σ≦C)=0.995
標準正規分布に換算して
平均値μ=0
標準偏差σ=1
なので

Excelで
下側確率=0.995をA1セルに入力
平均値=0をA2セルに入力
標準偏差をA3セルに入力
求めるCを求める関数式「=NORMINV(A1;A2;A3)」をA4セルに入力
してやるとA4セルにCを計算してくれます。
少数以下の有効桁数を10桁に設定した場合の計算結果は
「C=2.5758293035」
と得られます。
この結果はA#1で得られた結果と一致して一致しています。

回答No.3

Ishiwara

ANo.1です。No.1の回答の中に重要な誤りがあります。
あとで訂正を送信しますので、閉じないでお待ちくださるよう、お願いします。

回答No.2

Ishiwara

この問題は
「ちょうど全人口の１％に入る優秀な成績を得た学生がいた。この成績を偏差値で表すといくつになるか」
という問題です。ただし偏差値＝５０とＣ＝０は同じ、偏差値＝６０とＣ＝１は同じ、偏差値＝７０とＣ＝２は同じ、以下同様です。
http://www.koka.ac.jp/morigiwa/sjs/standard_normal_distribution.htm
で、斜線面積が0.49のところを見てください。この表では、全面積を１、右半分の面積を0.5としています。したがって斜線部分が0.49のところを見れば、「それより優秀な人が全員の0.01」のところを見たことになります。
その数値は、2.33 ですね。これが答え（Cの値）です。
もし「偏差値」でいうなら、2.33を10倍して50を足すことによって、73.3という結果が出ます（偏差値は問題で要求していませんが、統計学をしっかり頭に入れるために、このような見方も必要です）。

参考URL：

http://www.koka.ac.jp/morigiwa/sjs/standard_normal_distribution.htm