高校数学の参考書の記述で理解できないところがありました。

質問

高校数学の参考書の記述で理解できないところがありました。

数列 a_n がαに収束するときの話です。　

以下のような記述がありました。

lim_n→∞　a_n = α　⇔　lim_n→∞　|a_n - α| = 0

ここで、なぜ　|a_n - α|のように絶対値の記号が付くのでしょうか？

自分は、lim_n→∞　(a_n - α) = 0 でいいと思うのですが…

どなたかご回答お願いいたします。

回答No.1

naniwacchi · ベストアンサー

おはようございます。

確かに、lim a(n)＝ α ⇒ lim { a(n)-α }＝ 0（左向き）を考えるだけであれば、
言われているとおり絶対値は用いなくてもいいかと思います。
ただ、右向きの内容を示すときには、絶対値が威力を発揮してくれます。

まず、一言で「収束する」と言っても、
・αよりも小さいところから、近づいていく（常に a(n)＜αの場合）
・αよりも大きいところから、近づいていく（常に a(n)＞αの場合）
・振動しながら、近づいていく（減衰振動：a(n)＝ e^(-n)* sin(nπ)のような場合）

といろいろなパターンがあります。
ただ、いずれの場合も「αという値との距離が縮まっていく」ことには変わりないので、
「距離」を表す絶対値の記号を用いて、このように表すことになります。
（数直線上で、a(n)が徐々にαへ近づいていく様子を想像してください。）

このように一般には「近づき方」がはっきりしないので、
絶対値を用いて表しておくことで、そのあいまいなところを排除しておくということになります。
それを式で表したものが、質問の内容となります。

実戦では、「はさみうちの原理」を用いるときに、この考え方を使うことがあります。

例として、a(n)＝ 1- {(-1)^n}/nという数列を考えることにします。
収束値：αは明らかに 1になるのですが、a(n)-α＝ -{(-1)^n}/nとなって
α＝ 1には振動しながら近づくことになります。

ここで絶対値を用います。
すると、「絶対値≧ 0」という絶対値の性質と組み合わせることで
0≦ |a(n)-α|≦ 1/n（実際には左側は等号になりますが）となります。
n→∞のとき 1/n→ 0となり、
はさみうちの原理より a(n)→α（α＝ 1）であることが示せます。

いまの例は単純なので、絶対値を用いなくとも「はさみうち」で収束を示すこともできます。
（-1/n≦ a(n)≦ 1/nより、左からも右からも 0に近づく）
場合によっては、絶対値を用いた方が「負号（-）」を排除できて証明が簡単になることもあると思います。

長々となってしまったので、ややこしいところとかあれば補足してください。＾＾；

お礼

おはようございます。

なんと、実戦的な意味があったのですね！

確かに、振動しながらの場合には絶対値があるほうが扱いやすいようです！

疑問が解消されてすっきりしました。

ご回答ありがとうございました！