シュレディンガー方程式について

質問

シュレディンガー方程式について
普通の物体が中心力を受けて運動する時、ある平面上を運動します。その平面以外ののところにその物体が存在する確立は０です。
また同じように中心力を受けて原子核の周りをまわる電子は球状に存在確率があります。
これはミクロな現象とマクロな現象の違いで、マクロな現象は近似でしかないということだと思うのですが、どう近似したらそうなるのかがわかりません。
マクロな物体でもシュレディンガー方程式は満たすはずです。そうなればマクロな物体も必ずしも同一平面上にいないくてよいのではないですか？なぜこういう矛盾が出るのですか？
物質を構成する個々の原子を考え、それぞれの存在の可能性の範囲を考えるときは、一個だけで運動する電子とは違って、他の原子からの力があるから球面的には広がらなさそうですが、では物体を一つのものとして、シュレディンガー方程式を解いてはいけないんですか？極座標表示のシュレディンガー方程式の角度成分（Θ、φ）には質量の変数は含まないですよね。だからシュレディンガー方程式をといても、電子と普通の物質両方とも同じ結果になるのではないですか？そうだとしたら、そっからどう近似したら現実の結果とあうのですか？

回答No.5

moumougoo · ベストアンサー

方程式が球対称であることと、状態がある角運動量をもっていることは別です。

古典力学でも方程式は球対称です。その方程式の解として（初期位置と速度）が決まると
角運動量が決まって、その角運動量を保存して運動します。

量子力学でも同じです。角運動量が保存される系では量子数となり、摂動として
角量子数によりエネルギー差を与えるようにすれば、エネルギースペクトルの分離として観測できます。

つまり、質問を整理すると、古典力学の角運動量をもった状態は量子力学でもあるの？ということになると思いますが、その答えはYES！となるかと思います。ただし、量子力学の場合は揺らぎがあるので、軌道平面に固定されているというイメージではありません。そのため、L^2の固有値は(l+1)lという値になります。

というかんじかと思いますがいかがでしょうか？

回答No.4

cocacola2010

#2です。

近似できるというのは勿論古典論が適用可能とされている現象について、です。
質問者さんが古典論が適用可能な現象について話をされていたので、
その範囲で回答をしたため「近似できる」といいました。

ちょっと例を出します。
高校数学では、重力加速度を一定値gでおいた問題が多いです。
しかし実際には地球の引力は距離の二乗に反比例に比例するため重力加速度gは一定値ではありません。

(1)ボールを地上から10mの高さまで投げた時の落下までの時間
(2)ボールを地上から1000kmの高さまで投げた時の落下までの時間

(1)では重力加速度g(一定値)を用いた解と、地球の引力が距離の二乗に反比例することを考慮した解にはほとんど差がありません。
(2)の場合は、かなりの差が出るでしょう。
この(2)の２つの計算結果は矛盾しているか？と問われれば、
「1000kmも投げたらgが一定値とおけるという近似が成り立つ条件外だから、そもそも一定値gとおくこと自体が間違ってるんだよ」と答えます。

さらに適用外となれば
重力加速度が一定値gならばいくら大きな初速を与えてもいつかボールは落ちてきますが、
実際には脱出速度を超えればボールは永遠に戻ってこないでしょう。

＜古典論では電子は平面内で回転し、電磁波を放出しエネルギーを失って核に落下します。

これは古典論と量子論が矛盾している例。というよりも古典論の適用限界を超えているため、古典論が通用しない例と言った方がいいでしょう。
両者の計算結果が異なることそのものを「矛盾している」と呼ぼうと思えば、
確かに矛盾しているといえますが、適用条件外に無理やり適用して比較し「矛盾している」
というのは栓無いことです。

そしてもうひとつ大切なことは、上記の例では10m程度の高さの範囲では近似的に両者の解が近似的に一致することです。
量子力学ではエーレフェストの定理と言うものがあり、ちゃんとした式で表されます。
シュレディンガー方程式は、そもそも波動関数の波束を力学における粒子として考えた場合に運動方程式に従うように考えて組み立てられています。
このように古典論が量子論によって近似できることは（勿論古典論が適用できる範囲の現象について）量子力学の教科書などを開けば載っていることです。
決して私の独断でもネットで見つけた知識でもありません。

＜量子論では電子は核の周に完全に方向依存性無く分布し永遠に変化しません
s軌道ならそうでしょうが、その他の軌道では方向依存性あります。
下記のURLをご覧ください。
電子の軌道についてちょっとでも絡んだ学科の人なら誰でも知ってることです。
ちなみに図を見てこの形に添って電子が回ってると誤解する人がいますが違いますよ。
球は方向成分に関して対称だから～という考えからかもしれませんが
実際はそんなに簡単な議論でもないんです。

参考URL：

http://blog.goo.ne.jp/liberty7jp/m/200907/?st=0&page=3

回答No.3

noname#160321

質問者のお考えも良く分りませんが、＃２のお答えも全く理解出来ません。
量子論と古典論は無矛盾ではありません。
相対論も古典論と無矛盾ではありません。
量子論では電子は核の周に完全に方向依存性無く分布し永遠に変化しません。
古典論では電子は平面内で回転し、電磁波を放出しエネルギーを失って核に落下します。

回答No.2

cocacola2010

No1さん
＜純粋に古典論と量子論の差異です。

量子論は古典論に矛盾する形で組み立てられてはおらず、あくまでより正確な形で記述されたものであるので、古典論の現象は量子論によって近似できるはずです。

私も同じようなことを考えたことがあります。
専門書などで確認したわけではないですが、おそらく以下のようなことだと思います。
（間違ってたらすいません）

おそらく質問者さんが考えているような状況の場合、質量ではなく量子数が問題でしょう。
質問者さんおっしゃるように球面関数には質量が含まれていませんが、量子数が含まれています。
質問者さんがおっしゃる「球状」というのはあくまで基底状態のもので、実際に私たちが観測できる円運動というのは、非常に大きな数な準位の軌道です。
（ちなみに質量が大きいほど基底状態の軌道の半径は小さくなります。）
その様に非常に量子数の大きな軌道（のうちのひとつ）を描けば、近似的にマクロな円運動と同じになるのではないかと思います。

実際に描ければ描いてみたいのですが、フリーで軌道を描けるソフトを知りません。
これを見ている方でもし知っている方がいれば教えてください。

回答No.1

noname#160321

>これはミクロな現象とマクロな現象の違い
…ではないと思います。純粋に古典論と量子論の差異です。