どなたかこの問題の解き方を教えてください。

質問

どなたかこの問題の解き方を教えてください。

不定形の極限値を求める計算です。

回答No.4

info22_ · ベストアンサー

lim (e^x-e^sin(x))/(x-sin(x))
x->0
ロピタルの定理適用
=lim(e^x-cos(x)e^sin(x))/(1-cos(x))
x->0
ロピタルの定理適用
=lim(e^x+(sin(x)-cos^2(x))e^sin(x))/sin(x)
x->0
ロピタルの定理適用
=lim(e^x+(cos(x)+2cos(x)sin(x)+sin(x)-cos^2(x))e^sin(x))/cos(x)
x->0

=(1+(1+0+0-1)*1)/1

=1

回答No.5

alice_44

確かに、テイラー展開の剰余項を
No.1 のようにランダウの記号で書くと、
入試等では嫌われるかもしれない。
テイラーの定理を使って剰余項を明示すれば、
高校の範囲に収まるが…
三次までやらなくても、一次のテイラー定理
(平均値定理M)だけで解決するとは、
No.1 は、迂遠だった。

やはり、脊髄反射で計算する前に、
一度、頭は使わねばならない。

回答No.3

naniwacchi

こんにちわ。

不定形の場合、だいたいは「ロピタル」か「べき級数展開」かになりますね。
ただ、高校数学の範囲ではどちらもあまり使うことは好まれないので・・・。
ちょっと厄介ですが、「平均値の定理」を用いることで示すことができます。

f(x)＝ e^xとおくと、平均値の定理より次の式を満たす値 cが存在する。
{ e^x- e^(sin(x)) }/{ x- sin(x) }＝ f '(c)　（cは、xと sin(x)の間）
{ e^x- e^(sin(x)) }/{ x- sin(x) }＝ e^c

すると、x→ 0のとき sin(x)→ 0となるから、c→ 0となる。
よって、
lim{ e^x- e^(sin(x)) }/{ x- sin(x) }＝ lim[c→ 0] e^c＝ 1

平均値の定理の応用問題としては、比較的よくでてくる問題ではあります。

回答No.2

alice_44

失礼、誤字訂正。

{ e^x - e^(sin x) } / (x - sin x)
= { (1 + x + (1/2)x^2 + (1/6)x^3 + o[x^3]) - (1 + x + (1/2)x^2 + 0 x^3 + o[x^3]) } / { x - (x - (1/6)x^3 + o[x^4]) }
= { (1/6)x^3 + o[x^3] } / { (1/6)x^3 + o[x^4]) }

分子の引き算を見ると、
ロピタル３回でもいいことが解りますね。

回答No.1

alice_44

ベキ級数展開を使ってやってみます。

e^z = 1 + z + (1/2)z^2 + (1/6)z^3 + o[z^3]　に
z = sin x = x - (1/6)x^3 + o[x^4]　を代入して
整理すると、
e^(sin x) = 1 + { x - (1/6)x^3 + o[x^4] } + (1/2){ x - (1/6)x^3 + o[x^4] } + (1/6){ x - (1/6)x^3 + o[x^4] }^3 + o[(sin x)^3]
= 1 + x + (1/2)x^2 + 0 x^3 + o[x^3]。

これを使って、x → 0 のとき、
{ e^x - e^(sin x) } / (x - sin x)
= { (1 + x + (1/2)x^2 + (1/6)z^3 + o[z^3]) - (1 + x + (1/2)x^2 + 0x^3 + o[x^3]) } / { x - (x - (1/6)x^3 + o[x^4]) }
= { (1/6)x^3 + o[x^3] } / { (1/6)x^3 + o[x^4]) }
→ (1/6) / (1/6)
= 1

＃ たぶん、ロピタルとか言い出す人が現れるでしょうが…