助けてください

質問

四角形ABCDは半径１の円に内接し対角線AC,BDの長さは
それぞれ√３であるとする
このとき四角形ABCDの４辺の長さの合計の最大の値をもとめよ

解答解説よろしくお願いします

回答No.2

banakona · ベストアンサー

半径が１の円に内接して、対角線の長さが共に√３ということは、円の中心をＯとすると△ＯＡＣ、△ＯＢＤは共に頂角が１２０度の二等辺三角形。

下図で、△ＯＢＤがＯを中心としてθ＝０～２π／３まで移動するとき、四角形ＡＢＣＤの周囲の最大値を求めれば良い。

４辺の長さは４つの二等辺三角形、△ＯＡＢ，△ＯＢＣ，△ＯＣＤ，△ＯＤＡの底辺の長さなので

ＡＢ＋ＢＣ＋ＣＤ＋ＤＡ＝２sin(θ/2)＋２sin(π/3－θ/2)＋２sin(θ/2)＋２sin(π/3＋θ/2)　・・・（＊）

これを整理してθで微分し、合成公式を使うと、
　(√7)cos(θ/2+α)
となると思います（計算に自信がないので途中計算は省略）。
ただし　cosα＝２／√7　sonθ＝√(3/7)　　・・・★

これを０にするθの値をαで表して、（＊）に代入し、★を駆使して整理すると、２√７
という値が出てきます。

エクセルでグラフを書かせたら、ほぼ同じ角度で同じ最大値をとったので、おそらく合っているでしょう（笑）

お礼

とてもわかりやすかったです
ありがとうございました。

回答No.4

debut

線分ＢＤを固定します。
△ＡＢＤで正弦定理ＢＤ/sin(∠ＢＡＤ)＝２から∠ＢＡＤ＝60°か
120°。
円に内接する四角形の対角の和は180°なので、∠ＢＣＤは120°か
60°なので、∠ＢＡＤを120°、同様にして∠ＡＢＣを120°と
します。（60°,120°が変わっても同じ図形ですから〕

ＡＢ＝a,ＢＣ＝b,ＣＤ＝d,ＤＡ＝dとすれば、４つの三角形の余弦
定理から、
a^2+b^2+ab=3・・(1)
b^2+c^2-bc=3・・(2)
c^2+d^2-cd=3・・(3)
a^2+d^2+ad=3・・(4)
(1)-(2)から、(a+c)(a-c+b)=0→c=a+b
(4)-(3)から、(a+c)(a-c+d)=0→d=c-a=(a+b)-a=b
すると、四角形ＡＢＣＤの周りの長さ＝a+b+(a+b)+b=2a+3b

ここで、2a+3b=kとおいて、b=(k/3)-(2/3)aを(1)に代入して整理
すると、7a^2-ka+k^2-27=0
a の実数条件（判別式≧０)、および、k＞０を計算すると
０＜ｋ≦２√７
よって最大値は２√７
（ちなみに、a=1/√7,b=4/√7,c=5/√7,d=4/√7です）

回答No.3

banakona

＃２です。

（誤）ただし　cosα＝２／√7　sonθ＝√(3/7)　　・・・★

（正）ただし　cosα＝２／√7　sinα＝√(3/7)　　・・・★

失礼しました。

回答No.1

noname#142902

こんばんは。
　まず、対角線がそれぞれ同じ長さなので、「長方形」か「正方形」に絞られるのではないですか？　と、思うかもしれませんが、実際は「長方形」でも「正方形」でもありません。半径１の円に内接した「長方形」は対角線の長さが半径と等しくなるからです。図に描けば分かると思います。「平行四辺形」も同じく除外。
　「ひし形」では対角線の長さは等しくならないのでこれも除外します。と、なると残るは「台形」でしょう。
　あなたの問題のレベルからすると、中学、高校入試の問題かと思われます。私の手には負えない問題と思うので、他の方の回答を待っています。
　参考にして下さい。