教科書に載っている微分

質問

関数を微分せよ。
y={√(1+x)}/1-x^2

以下自分の回答。
y={(1+x)^(1/2)}*(1-x)^-2
よってy´={(1/2)(1+x)^1/2}+(-1)*(1-x^2)^-2(-2x)
=1/{2√(1+x)}+2x/(1-x^2)^2
={(1-x^2)+4x√(1+x)}/2{√(1+x)}(1-x^2)^2
ここまでです。
正解はy´=(3x+1)/2(1+x){(1-x)^2}√(1+x)です。
分子に√がある時点で正解とは違い、商の微分の公式でも別の答えが出てきてしまったので投稿しました。

間違いを教えていただきたいです。

回答No.3

w0col · ベストアンサー

最初の掛け算での微分の仕方が間違っています。
Y=A×Bのような式の微分の場合、Y'=A'×B+A×B'となりますが、krrsaさんの式ではY'=A'+B'となってしまっています。
かなり簡略化しましたのでわからないかもしれませんが、その時はまた言って下されば詳しく説明します。

お礼

回答ありがとうございます。
ずばり核心突いてると思います。
ちょっとやってみます。

補足

無事に正解にたどり着くことができました。
ありがとうございました。

回答No.4

naniwacchi

#2です。

#3さんが書かれているとおりですね。
「積の微分」について、チェックしないといけないということですね。
一応、「教科書っぽく」書いておけば

f(x), g(x)が微分可能な関数であるとき、
{ f(x)* g(x) } '＝ f '(x)* g(x) + f(x)* g '(x)

お礼

ありがとうございました。

回答No.2

naniwacchi

おそらく、この問題は

y= √(1+x)/(1-x^2)の微分です。

商の微分でもいいですが、積の微分＋合成関数の微分で考えても同じです。

y '＝ 1/2* 1/√(1+x)* 1/(1-x^2) + √(1+x)* 2x/(1-x^2)^2

ここで、2* √(1+x)* (1-x^2)^2を分母として通分します。
そのとき、
(分子)
＝ (1-x^2) + (1+x)* 4x
＝ 3x^2+ 4x+ 1
＝ (3x+1)(x+1)

となります。
最後に、分母・分子に √(1+x)をかけて（分母の有理化）、(x+1)を約分すれば

y '＝ (3x+1)* √(1+x)/ {2* (1-x^2)^2}

となります。

お礼

回答ありがとうございます。
初歩的なことかもしれませんが

y '＝ 1/2* 1/√(1+x)* 1/(1-x^2) + √(1+x)* 2x/(1-x^2)^2

の分子の* 1/(1-x^2)がどうやって出てきたかがわかりません。

この辺はほぼ独学なのでお手数かけますがお願いします。

回答No.1

Tacosan

ちょっとまった.
微分したい関数はなに?
y={√(1+x)}/1-x^2
と
y={(1+x)^(1/2)}*(1-x)^-2
は違う関数だし, そのあとの
y´={(1/2)(1+x)^1/2}+(-1)*(1-x^2)^-2(-2x)
もなんで (1-x^2)^-2 になるのかが理解できん.
y={√(1+x)}/1-x^2
が
y=({√(1+x)}/1)-x^2
なのか
y={√(1+x)}/(1-x)^2
なのか
y={√(1+x)}/(1-x^2)
なのかはたまたこれら以外のなんなのか, ちゃんと括弧をつけて明確にわかるようにしてください.

お礼

y´={(1/2)(1+x)^(-1/2)}+(-1)*(1-x^2)^-2(-2x)
=1/{2√(1+x)}+2x/(1-x^2)^2
={(1-x^2)^2+4x√(1+x)}/[2{√(1+x)}(1-x^2)^2]

最後の[]が抜けていました。

補足

回答ありがとうございます。
いろいろと変なとこがあってすいませんでした。
後から見たら確かにわかりませんね。

微分したいのはy={√(1+x)}/(1-x^2)です。

＞y={(1+x)^(1/2)}*(1-x)^-2
は違う関数だし, そのあとの
y´={(1/2)(1+x)^1/2}+(-1)*(1-x^2)^-2(-2x)

タイプミスと計算ミスが重なってひどいことにしてしまいました。
↓計算しなおしたものです（これでも正解にたどり着けないのですが…）

y´={(1/2)(1+x)^(-1/2)}+(-1)*(1-x^2)^-2(-2x)
=1/{2√(1+x)}+2x/(1-x^2)^2
={(1-x^2)^2+4x√(1+x)}/2{√(1+x)}(1-x^2)^2

これでもう一度お願いします。