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原点を通る重回帰式の偏回帰係数
はじめまして。 目的変数に対し、３つの説明変数を持つ資料があり、原点を通る重回帰式をたてたいところです。Ｅｘｃｅｌなど、計算機の機能によって答えはわかっているのですが、式を作る計算過程を説明する資料を作らなければならなくなりました。 Y = aX+ bW + cZ Y: 目的変数 X：説明変数１ W：説明変数２ Z：説明変数３ a,b,c ： 偏回帰係数 について、残差平方和 {Σ（Yi - ( aXi + bWi + cZi ))}^2を最小にするa,b,cを求めたいのです。残差平方和に対し、a,b,cで偏微分するといいのだ・・・などという理論は概ねわかりますが、私の数学力では、実際に計算過程を書き表すことができません。 説明変数が２つで、原点を通らない重回帰式の偏回帰係数の計算方法については、たとえば、以下のURLに書き表した例があります。 http://aoki2.si.gunma-u.ac.jp/lecture/Regression/mreg/mreg1.html このような書き表しの例で、説明変数が３つで、原点を通る重回帰式の偏回帰係数の計算方法をご紹介、またはご提示いただけないでしょうか。 どうかよろしくお願いいたします。
- mondo_zzz
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> お恥ずかしい話ですが、最後の「連立方程式を解く」ことができないのです。 恥ずかしいことではありません。 手計算で解こうとすると結構大変ですからね。 > Σ(Xi*Yi) = a*Σ(Xi*Xi) + b*Σ(Xi*Wi) + c*Σ(Xi*Zi) > Σ(Wi*Yi) = a*Σ(Wi*Xi) + b*Σ(Wi*Wi) + c*Σ(Wi*Zi) > Σ(Zi*Yi) = a*Σ(Zi*Xi) + b*Σ(Zi*Wi) + c*Σ(Zi*Zi) を手計算で解くなら、掃き出し法を用いるのが一番簡単ではないでしょうか。
- yardsticks
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こんにちは。 Q = Σ(Yi - (a*Xi + b*Wi + c*Zi))^2 Qを偏微分して、0とおく。 dQ/da = - 2*ΣXi*(Yi - (a*Xi + b*Wi + c*Zi))=0 dQ/db = - 2*ΣWi*(Yi - (a*Xi + b*Wi + c*Zi))=0 dQ/dc = - 2*ΣZi*(Yi - (a*Xi + b*Wi + c*Zi))=0 展開してまとめる。 Σ(Xi*Yi) = a*Σ(Xi*Xi) + b*Σ(Xi*Wi) + c*Σ(Xi*Zi) Σ(Wi*Yi) = a*Σ(Wi*Xi) + b*Σ(Wi*Wi) + c*Σ(Wi*Zi) Σ(Zi*Yi) = a*Σ(Zi*Xi) + b*Σ(Zi*Wi) + c*Σ(Zi*Zi) 連立方程式を解いてa,b,cを求める。 http://aoki2.si.gunma-u.ac.jp/lecture/Regression/mreg/mreg1.html と見比べてください。切片をなくして、目的変数と各説明変数の平均値を０とおいたものと同じです。
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お礼
回答ありがとうございます。 お恥ずかしい話ですが、最後の「連立方程式を解く」ことができないのです。 3行目の式から、 c=｛Σ(Zi*Yi) - a*Σ(Zi*Xi) - b*Σ(Zi*Wi)｝/ Σ(Zi*Zi) として、1行目、2行目の式に代入するところまではできますが、その後、展開して、a,bを求めようとすると、破綻してしまうのです。 できますれば、 a= ○○ , b=○○ , c=○○ と解を書き表すまでの部分をご示唆いただけないでしょうか。 なにとぞよろしくお願いいたします。