ベクトル計算の問題が解けず困っています。

質問

ベクトル計算の問題が解けず困っています。誰か教えて頂けるようお願いいたします。すごく急いでいます。
【問題】次のR^3の３つのベクトルb1,b2,b3について答えなさい。
b1= -1/√2 ,1/√2, 0
b2= -1/√3,-1/√3,1/√3
b3= 1/√6,1/√6,2/√6
(1)b1,b2,b3はR^3の正規直交基底になることを示しなさい。
(2)基底b1,b2,b3に関するベクトルa=(√6,2√6,-2√6)の成分表示を
　　 求めなさい。
　　※まる無げな質問で申し訳ありませんが非常に困っていますので
　　　どうか答えと導き方を教えて頂けるようお願いいたします。

回答No.1

htms42 · ベストアンサー

「正規直交基底」とはどういうものですか。
互いに直交している単位ベクトルの組のことですね。
このベクトルの組を使うと他の任意のベクトルを表すことができます。
３次元であればｘ、ｙ、ｚの３つの方向の単位ベクトルを使ってベクトルをあらわしています。質問文中のｂ１、ｂ２、ｂ３はｘ、ｙ、ｚでの表示ですからすでに正規直交系の１つを使っているのです。
ｘ＝（１，０，０）
ｙ＝（０，１，０）
ｚ＝（０，０，１）
です。
ｂ１＝（－１／√２、１／√２、０）
の各成分はｘ、ｙ、ｚとの内積で求めることができます。
（ｂ１・ｘ）＝－１／√２
（ｂ１・ｙ）＝１／√２
（ｂ１・ｚ）＝０

それを新しく別のベクトルの組に取り替えようということになります。
（１）
・大きさが１である
・互いに直交している
を確かめればいいです。
（２）基底ベクトルとの内積を取れば成分が求められます。

お礼

ありがとうございました

回答No.3

Mr_Holland

（１）　計算で次のことが成り立つことを示してください。（簡単な計算です。）

　　|b1|＝|b2|＝|b3|＝０　かつ　b1・b2＝b2・b3＝b3・b1＝０

（２）　ａ＝ｐb1＋ｑb2＋ｒb3　とおいて、ｐ、ｑ、ｒを求めてください。

　　ｐ＝√3、ｑ＝－5√2、ｒ＝-1

　∴ａ＝√3 b1 - 5√2 b2 - b3

お礼

ありがとうございました

回答No.2

imasokari

おはようございます。

　基底というのは、それらを用いて次元を作ることができる成分…みたいなものだったような気がします（説明がうまくなくてすみません）。
　例えばベクトル(1,0)とベクトル(-3,0)は、2つをどれだけ組み合わせても1次元しか作ることができません。このとき、「R^2の基底ではない」ということではないでしょうか。
　(1,2)と(-3,-6)も、R^2の基底ではありません。
　(1,0)と(2,1は、R^2の基底です（直交はしていません）。

(1)
　さて、各々が「直交」なので、

b1・b2=0
b2・b3=0
b3・b1=0

になることを確認すればよいのではないでしょうか。

お礼

ありがとうございました