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2直線3x+2y-5=0,2x-3y+4=0のなす角の二等分線のうちで、傾きが正の直線
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#1です。 A#1で (1)の別解のやり方 添付図ような図を描きながら解いて行くといいでしょう。 [1] 直線 3x+2y-5=0(黒線)と 直線 2x-3y+4=0(青線) の交点P(7/13,22/13)を求める。 交点は2つの直線の連立方程式を解いて求めます。 [2] 黒直線上の点A(1,1)をとり、Pを中心としAを通る円(半径r=3/√13))を描き、青直線との交点B(16/13,28/13),C(-2/13,16/13)を求める。 円の方程式は (x-7/13)^2+(y-22/13)^2=9/13 です。この円の式と青直線の式を連立にして解けば交点B,Cの座標が求まります。 [3] ABの中点M(29/26,41/26),ACの中点N(11/26,29/26)の座標を求め PとMを結ぶ緑の直線 と PとNを結ぶ紫の直線 の内の傾きが正の方の直線(紫の直線)を求める。 この直線が題意の2等分線(y=5x-1)になる。 2点 P(7/13,22/13)とN(11/26,29/26) を通る直線の式は分かりますね。 式を簡単化して答えとします。 注)#2さんの答えの直線の式と一致しますので合っているでしょう。
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- mister_moonlight
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(1)だけ答えておく。 2等分線上の点を点P(α、β)とすると、Pから2直線までの距離が等しいから、点と直線との距離の公式より、|3α+2β-5|/√13=|2α-3β+4|/√13 である。 分母を払うと |3α+2β-5|=|2α-3β+4|。3α+2β-5=±(2α-3β+4)であるから、傾きが正の直線は、β=5α-1. 流通座標に変換すると、y=5x-1.
- info22
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ヒント (1)2直線の交点(7/13,22/13)を求めて、2つの直線の単位方向ベクトルを求め それらの和と差の方向ベクトルを求めてやると、(1,-1/5)と(1,5) 交点(7/13,22/13)を通る方向ベクトルが正の傾き5の方向ベクトルを有する直線を求めるだけ。 (2)直線2x+3y=6上の点(x,y)と、この直線のy=2xに対称な直線上の点(X,Y)とおくと、 2点P(x,y)とQ(X,Y)の中点M((x+X)/2,(y+Y)/2)が直線y=2x上にあること、 かつ、線分PQが直線y=2xの法線になっていること(直線PQと直線y=2xが直交すること)条件を満たすようにXとYの関係を求めれば、それが線対称の求める直線になります。 つまり、 (y+Y)/2=2((x+Y)/2} 簡単化して y+Y=2(x+X) {(y-Y)/(x-X)}*2=-1 この2つの式を(x,y)について解き、(x,y)をX,Yで表す。 そしてこの点(x,y)の座標を直線2x+3y=6 に代入してやれば XとYだけの求める直線の式が得られます。 改めて、(X,Y)を流通座標の(x,y)の文字で置き換えて答えとすればいいでしょう。
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