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線型代数の証明問題
A、Bは複素n次正方行列とします。 |trAB|^2≦tr|AA*|tr|BB*| の証明を教えてください。 A*はAの随伴行列です。
- Sho_Shonen
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- reiman
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いままでtr(BB^*)の式変形で添字の書換をしないミスをしていたので 訂正を兼ねて拡張もしてみた。 Aの行ベクトルの転置を順にa[1],…,a[n]とする。 このとき A= [a[1]^T] [・・・] [a[n]^T] Bの列ベクトルの複素共役を順にb[1],…,b[n]とする。 このとき B=[(b[1]^*)^T … (b[n]^*)^T] すると trAB=a[1]^T(b[1]^*)^T+…+a[n]^T(b[n]^*)^T trAB=(b[1]^*a[1]+…+b[n]^*a[n])^T trAB=b[1]^*a[1]+…+b[n]^*a[n] trAB=(a[1],b[1])+…+(a[n],b[n]) tr(AA^*)=a[1]^T(a[1]^T)^*+…+a[n]^T(a[n]^T)^* tr(AA^*)=a[1]^T(a[1]^*)^T+…+a[n]^T(a[n]^*)^T tr(AA^*)=(a[1]^*a[1]+…+a[n]^*a[n])^T tr(AA^*)=a[1]^*a[1]+…+a[n]^*a[n] tr(AA^*)=(a[1],a[1])+…+(a[n],a[n]) tr(AA^*)=∥a[1]∥^2+…+∥a[n]∥^2 tr(BB^*)=tr(B^*B) tr(BB^*)=b[1]^T(b[1]^*)^T+…+b[n]^T(b[n]^*)^T tr(BB^*)=(b[1]^*b[1]+…+b[n]^*b[n])^T tr(BB^*)=b[1]^*b[1]+…+b[n]^*b[n] tr(BB^*)=(b[1],b[1])+…+(b[n],b[n]) tr(BB^*)=∥b[1]∥^2+…+∥b[n]∥^2 よって |trAB|^2= |(a[1],b[1])+…+(a[n],b[n])|^2 ≦(|(a[1],b[1])|+…+|(a[n],b[n])|)^2 ≦(∥a[1]∥∥b[1]∥+…+∥a[n]∥∥b[n]∥)^2 ≦(∥a[1]∥^2+…+∥a[n]∥^2)(∥b[1]∥^2+…+∥b[n]∥^2) =tr(AA^*)tr(BB^*)
- reiman
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もっと簡単に 3次でやってもすぐに拡張できるのでそれでする。 Aの行ベクトルの転置を順にa[1],a[2],a[3]とする。 このとき A= [a[1]^T] [a[2]^T] [a[3]^T] Bの列ベクトルの複素共役を順にb[1],b[2],b[3]とする。 このとき B=[(b[1]^*)^T (b[2]^*)^T (b[3]^*)^T] すると trAB=a[1]^T(b[1]^*)^T+a[2]^T(b[2]^*)^T+a[3]^T(b[3]^*)^T trAB=(b[1]^*a[1]+b[2]^*a[2]+b[3]^*a[3])^T trAB=b[1]^*a[1]+b[2]^*a[2]+b[3]^*a[3] trAB=(a[1],b[1])+(a[2],b[2])+(a[3],b[3]) tr(AA^*)=a[1]^T(a[1]^T)^*+a[2]^T(a[2]^T)^*+a[3]^T(a[3]^T)^* tr(AA^*)=a[1]^T(a[1]^*)^T+a[2]^T(a[2]^*)^T+a[3]^T(a[3]^*)^T tr(AA^*)=(a[1]^*a[1]+a[2]^*a[2]+a[3]^*a[3])^T tr(AA^*)=a[1]^*a[1]+a[2]^*a[2]+a[3]^*a[3] tr(AA^*)=(a[1],a[1])+(a[2],a[2])+(a[3],a[3]) tr(AA^*)=∥a[1]∥^2+∥a[2]∥^2+∥a[3]∥^2 tr(BB^*)=tr(B^*B) tr(BB^*)=b[1]^T(b[1]^*)^T+b[1]^T(b[1]^*)^T+b[1]^T(b[1]^*)^T tr(BB^*)=(b[1]^*b[1]+b[1]^*b[1]+b[1]^*b[1])^T tr(BB^*)=b[1]^*b[1]+b[1]^*b[1]+b[1]^*b[1] tr(BB^*)=(b[1],b[1])+(b[2],b[2])+(b[3],b[3]) tr(BB^*)=∥b[1]∥^2+∥b[2]∥^2+∥b[3]∥^2 よって |trAB|^2= |(a[1],b[1])+(a[2],b[2])+(a[3],b[3])|^2 ≦(|(a[1],b[1])|+|(a[2],b[2])|+|(a[3],b[3])|)^2 ≦(∥a[1]∥∥b[1]∥+∥a[2]∥∥b[2]∥+∥a[3]∥∥b[3]∥)^2 ≦(∥a[1]∥^2+∥a[2]∥^2+∥a[3]∥^2)(∥b[1]∥^2+∥b[2]∥^2+∥b[3]∥^2) =tr(AA^*)tr(BB^*)
- reiman
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一ヶ所=と書くべきを≦と書いていたので訂正 3次でやってもすぐに拡張できるのでそれでする。 Aの行ベクトルの転置を順にa[1],a[2],a[3]とする。 このとき A= [a[1]^T] [a[2]^T] [a[3]^T] Bの列ベクトルの複素共役を順にb[1],b[2],b[3]とする。 このとき B=[(b[1]^*)^T (b[2]^*)^T (b[3]^*)^T] すると trAB=a[1]^T(b[1]^*)^T+a[2]^T(b[2]^*)^T+a[3]^T(b[3]^*)^T trAB=(b[1]^*a[1]+b[2]^*a[2]+b[3]^*a[3])^T trAB=b[1]^*a[1]+b[2]^*a[2]+b[3]^*a[3] trAB=(a[1],b[1])+(a[2],b[2])+(a[3],b[3]) tr(AA^*)=a[1]^T(a[1]^T)^*+a[2]^T(a[2]^T)^*+a[3]^T(a[3]^T)^* tr(AA^*)=a[1]^T(a[1]^*)^T+a[2]^T(a[2]^*)^T+a[3]^T(a[3]^*)^T tr(AA^*)=(a[1]^*a[1]+a[2]^*a[2]+a[3]^*a[3])^T tr(AA^*)=a[1]^*a[1]+a[2]^*a[2]+a[3]^*a[3] tr(AA^*)=(a[1],a[1])+(a[2],a[2])+(a[3],a[3]) tr(AA^*)=∥a[1]∥^2+∥a[2]∥^2+∥a[3]∥^2 tr(BB^*)=tr(B^*B) tr(BB^*)=b[1]^T(b[1]^*)^T+b[1]^T(b[1]^*)^T+b[1]^T(b[1]^*)^T tr(BB^*)=(b[1]^*b[1]+b[1]^*b[1]+b[1]^*b[1])^T tr(BB^*)=b[1]^*b[1]+b[1]^*b[1]+b[1]^*b[1] tr(BB^*)=(b[1],b[1])+(b[2],b[2])+(b[3],b[3]) tr(BB^*)=∥b[1]∥^2+∥b[2]∥^2+∥b[3]∥^2 よって |trAB|^2= |(a[1],b[1])+(a[2],b[2])+(a[3],b[3])|^2 ≦(|(a[1],b[1])|+|(a[2],b[2])|+|(a[3],b[3])|)^2 =|(a[1],b[1])|^2+|(a[2],b[2])|^2+|(a[3],b[3])|^2 +2|(a[1],b[1])||(a[2],b[2])| +2|(a[2],b[2])||(a[3],b[3])| +2|(a[3],b[3])||(a[1],b[1])| ≦(∥a[1]∥∥b[1]∥)^2+(∥a[2]∥∥b[2]∥)^2+(∥a[3]∥∥b[3]∥)^2 +2∥a[1]∥∥b[1]∥∥a[2]∥∥b[2]∥ +2∥a[2]∥∥b[2]∥∥a[3]∥∥b[3]∥ +2∥a[3]∥∥b[3]∥∥a[1]∥∥b[1]∥ ≦∥a[1]∥^2∥b[1]∥^2+∥a[2]∥^2∥b[2]∥^2+∥a[3]∥^2∥b[3]∥^2 +(∥a[1]∥^2∥b[2]∥^2+∥a[2]∥^2∥b[1]∥^2) +(∥a[2]∥^2∥b[3]∥^2+∥a[3]∥^2∥b[2]∥^2) +(∥a[3]∥^2∥b[1]∥^2+∥a[1]∥^2∥b[3]∥^2) =(∥a[1]∥^2+∥a[2]∥^2+∥a[3]∥^2)(∥b[1]∥^2+∥b[2]∥^2+∥b[3]∥^2) =tr(AA^*)tr(BB^*)
- reiman
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より丁寧に 3次でやってもすぐに拡張できるのでそれでする。 Aの行ベクトルの転置を順にa[1],a[2],a[3]とする。 このとき A= [a[1]^T] [a[2]^T] [a[3]^T] Bの列ベクトルの複素共役を順にb[1],b[2],b[3]とする。 このとき B=[(b[1]^*)^T (b[2]^*)^T (b[3]^*)^T] すると trAB=a[1]^T(b[1]^*)^T+a[2]^T(b[2]^*)^T+a[3]^T(b[3]^*)^T trAB=(b[1]^*a[1]+b[2]^*a[2]+b[3]^*a[3])^T trAB=b[1]^*a[1]+b[2]^*a[2]+b[3]^*a[3] trAB=(a[1],b[1])+(a[2],b[2])+(a[3],b[3]) tr(AA^*)=a[1]^T(a[1]^T)^*+a[2]^T(a[2]^T)^*+a[3]^T(a[3]^T)^* tr(AA^*)=a[1]^T(a[1]^*)^T+a[2]^T(a[2]^*)^T+a[3]^T(a[3]^*)^T tr(AA^*)=(a[1]^*a[1]+a[2]^*a[2]+a[3]^*a[3])^T tr(AA^*)=a[1]^*a[1]+a[2]^*a[2]+a[3]^*a[3] tr(AA^*)=(a[1],a[1])+(a[2],a[2])+(a[3],a[3]) tr(AA^*)=∥a[1]∥^2+∥a[2]∥^2+∥a[3]∥^2 tr(BB^*)=tr(B^*B) tr(BB^*)=b[1]^T(b[1]^*)^T+b[1]^T(b[1]^*)^T+b[1]^T(b[1]^*)^T tr(BB^*)=(b[1]^*b[1]+b[1]^*b[1]+b[1]^*b[1])^T tr(BB^*)=b[1]^*b[1]+b[1]^*b[1]+b[1]^*b[1] tr(BB^*)=(b[1],b[1])+(b[2],b[2])+(b[3],b[3]) tr(BB^*)=∥b[1]∥^2+∥b[2]∥^2+∥b[3]∥^2 よって |trAB|^2= |(a[1],b[1])+(a[2],b[2])+(a[3],b[3])|^2 ≦(|(a[1],b[1])|+|(a[2],b[2])|+|(a[3],b[3])|)^2 ≦|(a[1],b[1])|^2+|(a[2],b[2])|^2+|(a[3],b[3])|^2 +2|(a[1],b[1])||(a[2],b[2])| +2|(a[2],b[2])||(a[3],b[3])| +2|(a[3],b[3])||(a[1],b[1])| ≦∥a[1]∥^2∥b[1]∥^2+∥a[2]∥^2∥b[2]∥^2+∥a[3]∥^2∥b[3]∥^2 +2∥a[1]∥∥b[1]∥∥a[2]∥∥b[2]∥ +2∥a[2]∥∥b[2]∥∥a[3]∥∥b[3]∥ +2∥a[3]∥∥b[3]∥∥a[1]∥∥b[1]∥ ≦∥a[1]∥^2∥b[1]∥^2+∥a[2]∥^2∥b[2]∥^2+∥a[3]∥^2∥b[3]∥^2 +(∥a[1]∥^2∥b[2]∥^2+∥a[2]∥^2∥b[1]∥^2) +(∥a[2]∥^2∥b[3]∥^2+∥a[3]∥^2∥b[2]∥^2) +(∥a[3]∥^2∥b[1]∥^2+∥a[1]∥^2∥b[3]∥^2) =(∥a[1]∥^2+∥a[2]∥^2+∥a[3]∥^2)(∥b[1]∥^2+∥b[2]∥^2+∥b[3]∥^2) =tr(AA^*)tr(BB^*)
- reiman
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寝ぼけていたので間違いがあり以下のように修正 3次でやってもすぐに拡張できるのでそれでする。 Aの行ベクトルの転置を順にa[1],a[2],a[3]とする。 このとき A= [a[1]^T] [a[2]^T] [a[3]^T] Bの列ベクトルの複素共役を順にb[1],b[2],b[3]とする。 このとき B=[(b[1]^*)^T (b[2]^*)^T (b[3]^*)^T] すると trAB=a[1]^T(b[1]^*)^T+a[2]^T(b[2]^*)^T+a[3]^T(b[3]^*)^T trAB=(b[1]^*a[1]+b[2]^*a[2]+b[3]^*a[3])^T trAB=b[1]^*a[1]+b[2]^*a[2]+b[3]^*a[3] trAB=(a[1],b[1])+(a[2],b[2])+(a[3],b[3]) tr(AA^*)=a[1]^T(a[1]^T)^*+a[2]^T(a[2]^T)^*+a[3]^T(a[3]^T)^* tr(AA^*)=a[1]^T(a[1]^*)^T+a[2]^T(a[2]^*)^T+a[3]^T(a[3]^*)^T tr(AA^*)=(a[1]^*a[1]+a[2]^*a[2]+a[3]^*a[3])^T tr(AA^*)=a[1]^*a[1]+a[2]^*a[2]+a[3]^*a[3] tr(AA^*)=(a[1],a[1])+(a[2],a[2])+(a[3],a[3]) tr(AA^*)=∥a[1]∥^2+∥a[2]∥^2+∥a[3]∥^2 tr(BB^*)=tr(B^*B) tr(BB^*)=b[1]^T(b[1]^*)^T+b[1]^T(b[1]^*)^T+b[1]^T(b[1]^*)^T tr(BB^*)=(b[1]^*b[1]+b[1]^*b[1]+b[1]^*b[1])^T tr(BB^*)=b[1]^*b[1]+b[1]^*b[1]+b[1]^*b[1] tr(BB^*)=(b[1],b[1])+(b[2],b[2])+(b[3],b[3]) tr(BB^*)=∥b[1]∥^2+∥b[2]∥^2+∥b[3]∥^2 よって |trAB|^2= |(a[1],b[1])+(a[2],b[2])+(a[3],b[3])|^2 ≦(|(a[1],b[1])|+|(a[2],b[2])|+|(a[3],b[3])|)^2 ≦|(a[1],b[1])|^2+|(a[2],b[2])|^2+|(a[3],b[3])|^2 +2|(a[1],b[1])||(a[2],b[2])| +2|(a[2],b[2])||(a[3],b[3])| +2|(a[3],b[3])||(a[1],b[1])| ≦∥a[1]∥^2∥b[1]∥^2+∥a[2]∥^2∥b[2]∥^2+∥a[3]∥^2∥b[3]∥^2 +(∥a[1]∥^2∥b[2]∥^2+∥a[2]∥^2∥b[1]∥^2) +(∥a[2]∥^2∥b[3]∥^2+∥a[3]∥^2∥b[2]∥^2) +(∥a[3]∥^2∥b[1]∥^2+∥a[1]∥^2∥b[3]∥^2) =(∥a[1]∥^2+∥a[2]∥^2+∥a[3]∥^2)(∥b[1]∥^2+∥b[2]∥^2+∥b[3]∥^2) =tr(AA^*)tr(BB^*)
- reiman
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3次でやってもすぐに拡張できるのでそれでする。 Aの行ベクトルの転置を順にa[1],a[2],a[3]とする。 このとき A= [a[1]^T] [a[2]^T] [a[3]^T] Bの列ベクトルの複素共役を順にb[1],b[2],b[3]とする。 このとき B=[(b[1]^*)^T (b[2]^*)^T (b[3]^*)^T] すると trAB=a[1]^T(b[1]^*)^T+a[2]^T(b[2]^*)^T+a[3]^T(b[3]^*)^T trAB=(b[1]^*a[1]+b[2]^*a[2]+b[3]^*a[3])^T trAB=b[1]^*a[1]+b[2]^*a[2]+b[3]^*a[3] trAB=(a[1],b[1])+(a[2],b[2])+(a[3],b[3]) tr(AA^*)=a[1]^T(a[1]^T)^*+a[2]^T(a[2]^T)^*+a[3]^T(a[3]^T)^* tr(AA^*)=a[1]^T(a[1]^*)^T+a[2]^T(a[2]^*)^T+a[3]^T(a[3]^*)^T tr(AA^*)=(a[1]^*a[1]+a[2]^*a[2]+a[3]^*a[3])^T tr(AA^*)=a[1]^*a[1]+a[2]^*a[2]+a[3]^*a[3] tr(AA^*)=(a[1],a[1])+(a[2],a[2])+(a[3],a[3]) tr(AA^*)=∥a[1]∥^2+∥a[2]∥^2+∥a[3]∥^2 tr(BB^*)=tr(B^*B) tr(BB^*)=b[1]^T(b[1]^*)^T+b[1]^T(b[1]^*)^T+b[1]^T(b[1]^*)^T tr(BB^*)=(b[1]^*b[1]+b[1]^*b[1]+b[1]^*b[1])^T tr(BB^*)=b[1]^*b[1]+b[1]^*b[1]+b[1]^*b[1] tr(BB^*)=(b[1],b[1])+(b[2],b[2])+(b[3],b[3]) tr(BB^*)=∥b[1]∥^2+∥b[2]∥^2+∥b[3]∥^2 よって |trAB|^2= |(a[1],b[1])+(a[2],b[2])+(a[3],b[3])|^2 ≦|(a[1],b[1])|^2+|(a[2],b[2])|^2+|(a[3],b[3])|^2 ≦∥a[1]∥^2∥b[1]∥^2+∥a[2]∥^2∥b[2]∥^2+∥a[3]∥^2∥b[3]∥^2 ≦(∥a[1]∥^2+∥a[2]∥^2+∥a[3]∥^2)(∥b[1]∥^2+∥b[2]∥^2+∥b[3]∥^2) =tr(AA^*)tr(BB^*)
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