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線形代数 Tr
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- kabaokaba
- ベストアンサー率51% (724/1416)
>なんとなく対角成分を書き出して、 >a1b1・・・anbn >b1a1・・・bnan 行列の積を理解してますか? A=(a_{ij}), B=(b_{ij}) とおくと AB = ( Σ_{k=1}^n a_{ik}b_{kj} ) BA = ( Σ_{k=1}^n b_{ik}a_{kj} ) ですので Tr(AB) = Σ_{l=1}^n Σ_{k=1}^n a_{lk}b_{kl} = Σ_{l=1}^n Σ_{k=1}^n b_{kl} a_{lk} (積の順番を変えた) = Σ_{k=1}^n Σ_{l=1}^n b_{kl} a_{lk} (有限だから和の順番を変えた) = Σ_{l=1}^n Σ_{k=1}^n b_{lk} a_{kl} (kとlを入れ替えた) = Tr(BA) です. これだけで,別に帰納的でもなんでもなく Σの計算練習くらいですよ. シグマを使わず,n=3 くらいでやってみれば すぐに理解できるでしょう
- KENZOU
- ベストアンサー率54% (241/444)
積の行列ABの(i,i)成分はΣ[j=1,n]aijbjiとなりますね。同様にBAの(j,j)成分はΣ[i=1,n]bjiaijとなります。そこでTr(AB)は Tr(AB)=Σ[i=1,n](Σj=1,n]aijbji)=Σ[j=1,n](Σ[i=1,n]bjiaij)=tr(BA) (P.S)記号を多用しますので、例えば3行3列の行列の積の具体的な成分を書きながら理解を進めてください。
- pianist87
- ベストアンサー率0% (0/1)
試験問題の解答となり得る程度の証明でしたら、 以下のオックスフォード大学数学研究所(written in English)のサイトに記載されています。 英訳は必要ならば手伝いますが、あまり日本語が得意でないので訳の正確さは信用しないで下さい。
- pianist87
- ベストアンサー率0% (0/1)
ちゃんとした証明とのことで、より数学的に厳密な証明方法が知りたいのでしょうか。 それならば、シグマ記号を使うことで帰納的に証明できます。
- koko_u_
- ベストアンサー率18% (459/2509)
A = (a_ij)、B = (b_ij) と置いて、ひたすら計算すれば、誰でも証明できます。
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補足
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