数学の空間ベクトルと微分の問題が解けなくて困っています！

質問

閲覧ありがとうございます。

ベクトルの問題の方は
問 　1辺の長さが1の正四面体ＯＡＢＣにおいて、辺ＯＡを1：2に内分する点をＬ、辺ＯＢの中点をＭとし、辺ＢＣ上に∠ＬＭＮが直角になるように点Ｎをとる。

（1）ＢＮ：ＢＣを求めよ
（2）∠ＭＮＢ＝θのとき、cosθを求めよ。

この問題については全く解き方がわかりません・・・・

問　 3次方程式 x^3+ax^2-a^2x+8=0 が、負の解を1個、異なる正の解を2個もつような定数aの値の範囲を求めよ。ただし、a＜0とする。

この問題は一応微分して、増減表をかいて極値を求めたのですが・・・a＜0がよくわからなくて挫折してしまいました。

どなたかこの二つの問題の解き方をおしえてください！

最後まで読んでいただきありがとうございます。

回答No.1

rnakamra · ベストアンサー

問1 この手の問題、特に角度が絡む場合は内積を考えればよいでしょう。
OA↑=a↑,OB↑=b↑,OC↑=c↑とおく。OL↑,OM↑はa↑,b↑で表すことができる。

NはBC上の点であるから、ON↑=sb↑+(1-s)c↑(0≦s≦1)と表すことができる。

すると、LN↑とMN↑をa↑,b↑,c↑で表すことができます。
∠LMN=90°とはLN↑・MN↑=0 (・は内積を表す)事からsの値を決めればよい。(a↑・b↑、等の値が必要だがこれは定義に従えば簡単に出せます。)

(2)∠MNB=θとすると
NM↑・NB↑=NM*NB*cosθとなります。
NM↑とNB↑をa↑,b↑,c↑で表し、これを上の式に入れればcosθが出てくると思います。

問2
f(x)=x^3+ax^2-a^2x+8　とおくと
f'(x)=3x^2+2ax-a^2=(3x-a)(x+a)
f'(x)=0となるxはx=a/3(<0),-a(>0)です。
増減表はかけていると思いますので、グラフを書いてみます。
ただし、x軸無しで。(先にグラフの概形を書いてからy軸を書き込む)

y軸の場所は極値を取る位置から考えてグラフの形を決めてしまえば自動的に出てきます。
この問題はx軸、つまりy=0の場所の条件を考えることなのです。

グラフ上のどの位置にx軸があれば題意を満たせるのか、それを考えれば自ずとaの条件が導けると思います。

お礼

早い解答をありがとうございます。
問題の意図まで説明してもらって本当に助かりました！

補足

すいませんが・・・ひとつ質問よろしいでしょうか？
問1の（2）についてなんですが、NMの長さはどのようにして出したらいいのですか？

回答No.2

rnakamra

#1のものです。
>問1の（2）についてなんですが、NMの長さはどのようにして出したらいいのですか？

(1)でON↑,OM↑をa↑,b↑,c↑で表していると思います。
NM↑・NM↑=NM*NM*cos0=(NM)^2
です。この式の左辺のNM↑=OM↑-ON↑を入れると計算できる。

お礼

なるほど！ありがとうございます！！