平行平板コンデンサーの問題

質問

3枚の平行平板A,B,C（各々面積S）がこの順に並んでおり、最初に電荷がそれぞれ-Q1,+Q2,+Q3(Q1>0,Q2>0,Q3>0)与えられていたとします。
極板間の距離はAB間がd1、BC間がd2です。これらに直列に直流電圧Vの電源が付いているとします。負側がAです。
Bに導線は付いておらず独立しています。

今この状態からBをC側へ速度uで移動させます。このとき、電流はA→C方向か、C→A方向か？電源はエネルギーを失うかどうか？
また、このときの電流の値は？

という問題なのですが、初期状態からt秒経過したとすると、BC間が狭まり静電容量が増加するのでQ3が増加すると思うので、
電流の方向は、A→Cだと思います。しかし、AB間は遠ざかるのでこちらは静電容量が減少し、Q1が減少するように思います。
この場合、電源はコンデンサに対して仕事するのでエネルギーを失うということでいいのでしょうか？

次にこれらを式で書くと、
AB間の静電容量をC1,電位をV1,変化後の電荷量をQ1'とすると、
C1=ε0S/(d1+ut) , Q1'=C1*V1
同様にBC間は
C2=ε0S/(d2-ut) , Q3'=C2*V2
また、V1+V2＝V　、　Q1'=Q3'+Q2
これらよりQ1',Q3'が計算できて、トータルの電荷の変化量ΔQは
ΔQ=Q1'-Q1+Q3'-Q3　ですから、求める電流Iは
I=(d/dt)(Q1'-Q1+Q3'-Q3)=(Q1'+Q3')'で計算できると思うのですが、この計算が異常なほどやっかいで、あってるのかどうか非常に不安です。

---A-B-C---|
|　　　　　　　　　|
|　　　　　　　　　|
---[-V+}----

乱文で大変恐縮ですが、
考え方がおかしいところ、より良い回答等をご教示ください。
よろしくお願いいたします。

回答No.5

foobar

＃１です。
（E=Q/(2εS)は、どんな場合にも無条件で成立する、というわけではないのですが、）
とりあえず、今回の問題では電極両面での電界は平等電界になっている、という前提（あるいは、dは電極の寸法に比べて十分小さく、平等電界として扱ってよい領域にある、という前提）が成立しているとします。
すると、
1.ある電極（たとえばＡ）の電荷単独で考える場合に、等電位面は電極に平行になっていて、他の電極の有無の影響を考えなくてよい。（他の電極面上で等電位という境界条件を自動的に満たしているので、他の電極があっても矛盾が起きない。）
2.計算する空間は線形なので、A,B,Cそれぞれの電荷を単独で考えて電界を計算して、足し合わせればよい。
が使えます。
この二つから、平板電荷の寄与はQ/(2εS)ずつ、というのを使えることになります。

回答No.4

rnakamra

#1の方へ、教えてください。

>Qの平板からは両側にQ/(2εS）の電界が出ている

これってこのようにいってよかったでしたっけ?
確かに平行板の作る電界はガウス則から板から離れる向きを正としたとしてその両側の電界をE1,E2とおくと
ε(E1+E2)S=Q
とはできるのですが、常にE1=E2としてしまってよかったのですか。
確かに回りに何もないような場合では対称性からE1=E2と言い切ってもよいとは思うのですが、今回のように明らかに非対称な構成でE1=E2といえる根拠がわかりません。

回答No.3

foobar

例に、電界使って計算してみると、こんな感じになりそうです。
(Q1による電界は、d1,d2で左向き、Q2による電界はd1で左向き、d2で右向き、Q3による電界はd1,d2で左向きになっていることに留意して）
V=1/(2εS)*((Q1+Q2+Q3)d1+(Q1-Q2+Q3)d2) ..1
両辺時間微分すると、dV/dt=0,dQ2/dt=0より
0=1/(2εS)*((dQ1/dt+dQ3/dt)d1+(Q1+Q2+Q3)dd1/dt+(dQ1/dt+dQ3/dt)d2+(Q1-Q2+Q3)dd2/dt) ..2

総電荷一定なので、-Q1+Q2+Q3=const. より -dQ1/dt+dQ3/dt=0, dQ3/dt=dQ1/dt ..3
また、dd1/dt=u, dd2/dt=-u

これらを2式にいれて整理すると、
2(dQ3/dt)(d1+d2)+2Q2*u=0 より、dQ3/dt=-u*Q2/(d1+d2)　(<0)

電源Vの＋極から流れ出る電流i=dQ3/dt = -uQ2/(d1+d2)。
電流の向きは 電源+<-電極C, 電極A<-電源-、
電源に電力が流れ込む、という形になりそうにおもいます。
（計算間違ってないかな）

お礼

ご解答ありがとうございます。

foobar様の解法でやってみたところ、最後の電流のところまで同じ結果でした。

電流の向きは電源の正側へ入り込むのでA→C方向のループですね（実際に極板間に電流は流れませんが）。

おかげさまでやっと解くことができました。ありがとうございました。

回答No.2

rnakamra

気をつけないといけないのは、
A-Bで作られるコンデンサに蓄えられている電荷量≠Aの上の電荷量
であるとことです。
Aの上にある電荷はB側の面とBと反対側の面に分かれます。
B側の面にある電荷量は導体BのA側にある面の電荷量の-1倍になります。
同様に導体B,C上の電荷も二つに分かれます。

A-B間コンデンサに蓄えられる電荷量をq1(B側が正のときをプラスとする)
B-C間コンデンサに蓄えられる電荷量をq2(C側が正のときプラスとする)

とします。
A-B間コンデンサの容量をC1,電圧をV1、B-C間コンデンサの容量をC2,電圧をV2とすると次の関係が成り立ちます。

q1=C1*V1 (1)
q2=C2*V2 (2)
V1+V2=V (3)
q2-q1=Q2 (4)

4はB上の電荷量がQ2で一定であることから得られます。

これからq1,q2,V1,V2を求めることができるはずです。
しかし、この式からではA,B上の電荷量を決めることは出来ません。
なぜなら、外側の面に現れる電荷量間に関係式が得られていないからです。

しかし、別にA,B上の電荷量を決めなくても(不明であっても)問題の操作での電流の向きや大きさを決めることができる(はず)。

電流*電圧は仕事率、つまりエネルギーの時間微分となります。
電流の向きは、エネルギーが増えているときは正極から電流が流れ出る向き、エネルギーが減っているときは負極から電流が流れ出る向きになります。
(ただ、この議論、A,B外側の電荷が作る電場が蓄えているエネルギー量を無視している。もしかするとそのところを決定できるかもしれないが今の私にはわからない。)

大きな穴が開いている可能性があります。
もし間違えていたらごめんなさい。

補足

ご解答ありがとうございます。
一つ質問させてください。

＞A-B間コンデンサに蓄えられる電荷量をq1(B側が正のときをプラスとする)
＞B-C間コンデンサに蓄えられる電荷量をq2(C側が正のときプラスとする)

とありますが、極板Cの内側に蓄えられた電荷はq2で、BのC側は-q2、BのA側はq1、AのB側は-q1になると思うのです。

とすると、q1-q2=Q2となり、（４）式と違ってしまいます。
なぜ（４）のようになるのか、教えていただけますでしょうか？

回答No.1

foobar

まず最初に、-Q1+Q2+Q3=const.が成立していて、Q2一定なので、-dQ1/dt+dQ3/dt=0 になっています。（電線でつながれてループになっているので、電源の両極の電流は同じで、総電荷は変化しない。）

後は、ご質問でやられているように、電極間隔の変化から、電荷がQ1',Q3'に変わったときの電圧V'を計算して、V=V'の条件（と-Q1+Q3=constの条件）からQ3’の変化を計算して、電流dQ3/dtというような手順になりそうに思います。（電極間隔の変化から電圧を計算するときには、電荷Qの平板からは両側にQ/(2εS）の電界が出ている、というのを利用して、これを距離だけ積分する、というの使うのも手かも知れません。）