最急降下法を用いて最小値を求める方法を教えてください。

質問

最急降下法を用いて、関数Ｐ（ｘ，ｙ）＝ｘ＾２＋２ｙ＾２－２ｘ－８ｙの最小値を求める方法がよく分かりません。

分かる方は教えてくださると助かります。
よろしくお願いします。

回答No.2

htms42

普通に式を変形して最小値を求めると－９になります。
ｘとｙがクロスしていないので簡単です。
最急降下法とはどういうものでしょうか。

回答No.1

sinisorsa

この関数P(x,y)の場合には、最急降下法を用いる必要はありませんが、
最急降下法の練習問題だと考えていいですね。
x,yの初期値を適当に与えます。たとえば、(0,0)にするとか、
ランダムにとか。
新しいx,yは
x ← x - α∂P(x,y)/∂x
y ← y - α∂P(x,y)/∂y
により変更する。
これを繰り返し実行すると、うまくすれば、極小点の１つに
収束します。
αは適当に小さな実数とします。
大きすぎると、極小点の周りで振動的になります。
小さすぎると、収束が遅くなります。この問題だと、０．１位
でよいでしょう。（実験的に決めます）
なお、∂P(x,y)/∂x=2x-2, ∂P(x,y)/∂y = 4y-8
この問題の場合には、極小点は1個で最小点ですが、
一般には、極小点は複数となることが多いですから、
必ずしも、最小点には収束しません。

お礼

ありがとうございます！
すごく丁寧な説明でよく分かりました。