宇宙速度について

質問

辞書などで調べると第１～３宇宙速度の数値がのってるけどなぜそうなるのかかいてません。
エネルギー保存の法則で求めるというのはきいたことあります。
式にどんな数値を代入したらいいのかおしえてください。

回答No.1

siegmund · ベストアンサー

記号を先に決めておきます．

地球の質量：　　M = 5.974×10^(24) [kg]
太陽の質量：　　M◎ = 1.989×1^(30) [kg]
万有引力定数：　G = 6.6720×10^(-11) [N・m^2・kg^(-2)]
地球の半径：　　r = 6.378×10^6 [m]
地球の軌道半径：R = 1.496×10^(11) [m]
地球表面の重力加速度：g = GM/r^2

第１宇宙速度 u は，ロケット(質量ｍ)が地表にごく近い円軌道を描くために必要な速度です．
地球の引力は
(1)　　mg = GMm/r^2
遠心力は，
(2)　　mu^2 / r^2
両者が釣り合うから，(1)=(2) より
(3)　　u = √(GM/r) ≒ 7.9 [km/s]

第２宇宙速度ｖは，ロケットが地球の引力圏を完全に脱するのに必要な速度です．
無限遠からみた地球の引力のポテンシャルエネルギーは，地表で
(4)　　GMm/r
これが，ロケットの運動エネルギー
(5)　　mv^2/2
が(4)より大きければ，ロケットは地球の引力圏を脱出できます．
ちょうど脱出可能なところでは (4)=(5) より
(6)　　v = √(2GM/r) = √(2)×u = 11.2 [km/s]

第３宇宙速度ｗは，ロケットが太陽系を脱出するのに必要な速度です．
地球から出発しますから，(4)に対応する式が
(7)　　GM◎m/R
で，これよりロケットの運動エネルギー
(8)　　mw^2/2
が大きければ脱出可能です．
ちょうど脱出可能なところでは (7)=(8) より
(9)　　w = √(2GM◎/R) = 42.1 [km/s]
です．
ただし，ちょっと注意が必要で，このｗは太陽に対する速度です．
地球は太陽に対して 29.8 [km/s] の公転速度をもっていますから，
方向をうまく合わせれば，地球に対する速度が
(10)　　w2 = 42.1 - 29.8 = 12.3 [km/s]
でＯＫです．
この速度は地球の引力圏を脱出したときの速度ですから，
地表での速度 w0 はもっと大きくなります．
(11)　　m(w0)^2/2 = √{(w2)^2 + GM/r)}
から
(12)　　w0 = 16.7 [km/s]
になります．

お礼

実をいうと
u = √(GM/r)
v = √(2GM/r) = √(2)×u)　
w = √(2GM◎/R)
というそれぞれの結論の式しってました。
式に使われている文字の意味が分からなく、また推理も不可能だと判断したので質問をしたのです。なんとこの場合最初の８行で疑問が解けてしまいました。
この式がのっている原稿が他人の手作りで正しいという確証がなかったので「この式の文字の意味はなに」という安直な質問をする勇気が持てなかったのです。あの時勇気を出していればみなさんに無駄なお時間を取らせることもなかったろに・・・と反省しております。
とはいえ、結果的に貴公のわかりやすい解説をよんでより理解が増したと感じております。ありがとうございました。