不等式の問題です

質問

以下の問題で困っています。

数aに対して（a）は「aが0以上の整数のときaを12で割った余り、aが0以上の整数でないときは－1」をあらわすものとする。たとえば（20）＝8。

このとき、（x^2+4x）＞8を満たす整数xは0≦x≦100の範囲に全部で何個あるか。

いくつか解き方がある場合、二つほど示していただけると助かります。

回答No.1

oshiete_goo · ベストアンサー

0≦x≦100
のとき，常に　x^2+4x≧０なので，
左辺は　x^2+4xを12で割った余り　であり，
　12k－4＜x^2+4x＜12k　(ｋは自然数)
を満たす整数解を求めてはどうでしょう．
12k＜(x＋2)^2＜12k＋４
より．．．

お礼

ありがとうございます！
なんとかこちゃこちゃとやってみた結果
答えの33個にたどり着きました。
感謝です。

回答No.2

oshiete_goo

＃１です．
質問者さんは賢くてヒントだけで分かってしまったようですが，後から参照された方
のための略解です．

＃１の議論より
12k＜(x＋2)^2＜12k＋４ (ｋは自然数) を満たす整数解x　(0≦x≦100)を求めれば良
いが，
これは　f(x)＝(x＋2)^2　と置くと，f(x)＞12　かつ　f(x)を12で割った余りが１，
２，３のいずれかと一致する場合・・・(＊)である．
以下では12を法として合同式を考え，"mod.12" を略すことにする．

f(0)＝2^2＝4
f(1)＝3^2＝9
f(2)＝4^2＝16≡4
f(3)＝5^2＝25≡1
f(4)＝6^2＝36≡0
f(5)＝7^2＝(6+1)^2≡12＋1≡1
f(6)＝8^2＝(6+2)^2≡24＋4≡4
f(7)＝9^2＝(6+3)^2≡36＋9≡9

(6^2＝36≡0　より，多分既にお気づきのように，）
一般に　f(6+r)－f(r)＝(8+r)^2－(2+r)^2＝12(5＋r)≡0
から，f(6+r)≡f(r)　であり，f(x)を12で割った余りは周期６で，f(6)以降の余りは
　x=0～5の時の繰り返しになる．

よって，x＝6m～6m＋5　(m≧0)の１周期につき，(＊)を満たすxは　6m＋3　と　6m＋
5　の２個なので，
0≦x≦100　の範囲で考える．
まずm＝0,1,2,・・・,15　(x＝0～95)のとき２個ずつあり，
さらに残り　x＝96～100　の間では　x＝6×16＋3＝99の１個のみ．

以上より，答は　16×2＋1＝33(個)