提携形ゲームでの次の計算方法を教えてください。

質問

提携形ゲーム(N,v)がシグマjEN v({j})<v(N)を満たす場合、次のように(N,v)から(N,w)へ変換し、全体提携の提携値を1に、1人提携の提携値を0にすることを0-1正規化という。
w(S)=v(S)-シグマjEN v({j})/v(N)-シグマjEN v({j})
もとのゲーム(N,v)での分け方xと0-1正規化後のゲーム(N,w)の分け方yとの関係は次の通りである。
Yj=Xj-v({j})/v(N)-シグマjEN v({j})

このように説明されていて、以下のように例題があるのですが、なぜそうなるのか解らないので、教えてください。
例えば
例1　　　ゲーム(N,v)
提携 A B C AB AC BC ABC
提携値 0 10 5 20 10 20 30
を
　　　　ゲーム(N,w)
提携 A B C AB AC BC ABC
提携値 0 0 0 2/3 1/3 1/3 1
に変換。
例2
　　　 ゲーム(N,v)
提携 A B C AB AC BC ABC
提携値 3 2 0 5 5 4 12
を
ゲーム(N,w)
提携 A B C AB AC BC ABC
提携値 0 0 0 0 2/7 2/7 1
に変換。
例3
　　　 ゲーム(N,v)
提携 A B C AB AC BC ABC
提携値 10 6 3 20 15 12 30
を
ゲーム(N,w)
提携 A B C AB AC BC ABC
提携値 0 0 0 4/11 2/11 2/11 1
に変換。

回答No.1

stomachman · ベストアンサー

ご質問の最初にある説明の部分はとても式に見えません。しかし睨んでいるうちに、どうやら"E"は"∈"のことらしいと思えてきました。すると、

Nは競技者の集合、vとwはNの部分集合Sから数値（利得）への関数で、「全体提携」とはS=Nのこと、「一人提携の提携値」とはv({j})およびw({j}) (j∈N)を指すものとし、
　　Σ(j∈N)v({j}) < v(N)
を満たすものとする。そして、S⊂Nのとき
　　w(S)=v(S)-(Σ(j∈N)v({j}))/v(N) - Σ(j∈N)v({j})
とする。

…と書いてあるのだろうと思われます。ですが、これはかなりおかしな式です。なので、この式は無視いたします。また、「分け方」のご説明も何を分ける話なのかが分かりませんので無視です。（もうちっと、読み手に伝わるように配慮なさった方がいいと思うぞ。）

　式を無視しちゃったらお手上げかというとそうでもない。そもそも何のためにこんな変換をやってるのか、と考えるんです。すると、「1人提携の提携値を0にする」ということから推測するに、「利得」を「提携しなくたって得られる利得」と「提携したことによって得られる利得の増加分」とに分けて、後者だけに注目しようというのが狙いなんじゃないでしょうか。しかも、「全体提携の提携値を1に」するということから考えると、「全体提携」の場合の提携の効果を基準にして、それ以外の提携の効果を相対的に測ろうとしているに違いない。
　さて、それがやりたいのであれば、
　　w(S)=(v(S)-Σ(j∈S)v({j}))/(v(N)-Σ(j∈N)v({j}))
とするんでなくてはならない。

　どうしてこんな式が出てくるのかというと、変換を2段階に分けて考えれば分かりやすいでしょう。
●第1段階：「提携したことによって得られる利得の増加分」をuとする。
　　u(S) = v(S)-Σ(j∈S)v({j}))
右辺は、提携Sの「利得」から、「提携Sに参加している競技者の「提携しなくたって得られる利得」の総和」を差し引くということです。
●第2段階：「全体提携」の場合の「提携したことによって得られる利得の増加分（すなわちu(N)）」を基準にして、他の場合のuを比率で表す。
　　w(S) = u(S)/u(N)

　これらを一つの式にまとめたのが上記の式です。ご質問の例1でちょっと試してみると、N={A,B,C}であって、
u(N)=v(N)-(v({A})+v({B})+v({C}))=30-(10+5)=15
u({B,C})=v({B,C})-(v({B})+v({C}))=20-(10+5)=5
なので
w({B,C})=u({B,C})/u(N)=5/15=1/3
と、これで合ってるんじゃないかな？

お礼

解りやすく教えていただいてありがとうございました。