原付二種の任意保険（ファミリーバイク特約）について
もうすぐ原付二種を購入する予定です。
任意保険について調べたところ、ファミリーバイク特約というものがあることを知りました。
親が自動車保険に加入しているので、ファミリーバイク特約でいいかと思ったのですが、一つ気になることがあります。
任意保険について調べていたときに「ファミリーバイク特約では、搭乗者傷害保険については補償されない」といった記述を見つけてしまったのです。
バイクで事故をおこしてしまったら、何かしらの怪我はするのではないかと思います。しかしそれについての補償がないとなると、バイク用の任意保険に加入した方がいいのでは、と思っています。
親にも、「ファミリーバイク特約のお前自身（私のことです）の補償はしっかりしているのか」と心配されました。
参考になるか分かりませんが、加入している自動車保険の契約内容を簡単に記しておきます。
ファミリーバイク特約でいいのか、バイク用の任意保険に加入すべきか、アドバイスをお願いします。
＜以下、自動車保険の契約内容＞
・対人賠償保険金額：1名につき、無制限
・対物賠償保険金額：1事故につき、無制限
・免責金額：0円
・対物超過修理費用補償特約
・車両保険 種類：一般
・保険金額（協定保険価格）：115万円
・免責金額（1回目の車両事故）：0万円
・免責金額（2回目以降の車両事故）：10万円
・人身傷害 種類：一般
・保険金額：1名につき、3,000万円
・自損事故保険金額：人身傷害でカバーされます
・無保険車保険金額：1名につき、2億円
・搭乗者傷害 死亡保険金額：1名につき、1,000万円
・搭乗者傷害 医療保険金：部位・症状別定額払
・身の回り品補償特約 保険金額：1事故につき、20万円
・弁護士費用等補償特約 保険金額：1事故につき300万円
・加入しているのはそんぽ24で、加入者は母親です。
・ノンフリート等級は20等級です
・昨年から私が車を運転するようになったため、補償の対象は(1)記名被保険者（母です）、(2)1の配偶者（いません）、(3)1または2の同居の親族（私だけです）、(4)1または2の別居の未婚の子（いません）の4つになっています。
よろしくお願い致します。
お礼
とても分かりやすいお答えありがとうございます。