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行列の核と像
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Ker (f) ＝｛a∈V｜f (a) ＝ 0 ｝ Ker f とは右辺の集合のことである，といってるわけですが， 右辺の集合は， 「V の元 a であって，f で写った先が 0 になってしまうものの全体」 という意味です． Ker f が大きいということは， たとえば Ker f = V なら f によって全部が 0 になってしまうように， それだけ激しく縮小する写像です． Ker f が小さければ，たとえば Ker f = {0} ならだいたい形を保ったままの写像だと言えます． Im (f) ＝｛f (a) ｜a∈V｝ とは， 「f(a)の全体，ただし a は V の元」 ですから，V という空間が W の中でどのように写っているか，正に「像」をあらわしています． スライドに例えると， フィルムが V で， スクリーンが W 後ろから光を当てて，映像を投影する仕掛けが f ということでしょうか． 線形写像である，という条件から Ker や Im を 見るだけでだいたい f のことが分かるのでこれらは 大事な定義なわけです．
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- jmh
- ベストアンサー率23% (71/304)
申し訳ないです。よく読むと、No.3 の springside 様は、 Im(f) = { (x, y) | y = x + 1 } と仰ってるようにも読めますね。だとしたら、 No.5 の「No.3 の springside 様は正しい」は撤回させてください。 No.5 で jmh が言いたかったのは「｛｝がないです」という事だったのです。
- Largo_sp
- ベストアンサー率19% (105/538)
jmhさんすみません。 私の計算ミスです... ただ、springsideさんの、「直線だ」というところが違っているのではと 確かにy=x+1の式はあってますが、写像fは実数集合であって、直線でない ということが言いたかったんで...
- jmh
- ベストアンサー率23% (71/304)
No.4 の Largo_sp 様の > Im(f)はただ単にx+1です。 > Ker(A)=(0,0) > Ker(a)=(x,0) xは実数 Im(A)=(0,y) yは実数 は、 Im(f) = { x + 1 } （つまり、No.3 の springside 様は正しい）、 Ker(A) = { (0, 0) }、 Ker(A) = { (x, -x) | x は実数 }、Im(A) = { (0, y) | yは実数 } なのでは？
お礼
初めての質問でシステムがよく分からず、お礼が遅れてしまいました。 回答ありがとうございました。
- Largo_sp
- ベストアンサー率19% (105/538)
説明は#2の方の説明が詳しく、判りやすいので、そちらをみてください。 #3の方の最後が微妙に違うので、補足です。 Im(f)はただ単にx+1です。実数から実数への写像ですから... 実際は行列を考えるとわかると思うのですが...(線形写像は行列で考えますが...) たとえば、2次の回転行列Ａを考えると、Ｖは平面全体 Ker(A)=(0,0) Im(A)=Ｖとなります あと、Ker(f)が大きくなる例ですが、 A= 0 0 1 1 とすると...平面全体をＶとした場合 Ker(a)=(x,0) xは実数 Im(A)=(0,y) yは実数 となります。
お礼
初めての質問でシステムがよく分からず、お礼が遅れてしまいました。 回答ありがとうございました。
- springside
- ベストアンサー率41% (177/422)
Ker (f) ＝｛a∈V｜f (a) ＝ 0 }ですが、これは、「線形写像fを施したときに、写った先が0である（0になる）ような、写る前の集合（Vのこと）の部分集合」ということでしょう。 Im (f) ＝｛f (a) ｜a∈V｝は、「線形写像fによって写った先（写った後）のもの」ということでしょう。 例として、「V＝実数（xとします）、W＝実数（yとします）、f=x+1」とすると、Ker(f)は、「x+1が0になるようなx」ですから、「-1」であり、Im(f)は、直線（xy平面上のy=x+1）ということでしょう。 違っていたらどなたか補足してください。
お礼
初めての質問でシステムがよく分からず、お礼が遅れてしまいました。 回答ありがとうございました。
- Mell-Lily
- ベストアンサー率27% (258/936)
核 Ker(f)={a∈V|f(a)=0} は、数学の言葉で言いますと、”零点集合”です。一方、像 Im(f)={f(a)|a∈V} は、馴染みのある言葉で言いいますと、”グラフ”です。
お礼
初めての質問でシステムがよく分からず、お礼が遅れてしまいました。 回答ありがとうございました。
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初めての質問でシステムがよく分からず、お礼が遅れてしまいました。 回答ありがとうございました。