にゃんこ先生の自作問題・シュターナーの定理・カヴァリエリの原理を使った等積変形

質問

にゃんこ先生といいます。

空間にある４頂点でできた四面体とその体積を考えます。

カヴァリエリの原理とは、二つの立体図形を平面で切った切り口の面積が常に等しければ、体積も等しい、というものです。

つまり、四面体の３頂点をテーブルに接するように置き、残りの頂点をテーブルと水平に移動させても、変形する四面体の体積は同じです。

シュターナーの定理とは、四面体の一辺をその長さを固定したまま、その辺の方向にずらしても、体積は変わらないというものです。

別の言い方をすれば、ねじれの位置にある２本の直線を考え、それぞれの直線上に決まった長さの線分をとる。このとき、２線分から四面体ができるが、その体積は、線分の位置によらず一定。
​http://mathworld.wolfram.com/SteinersTheorem.html​
の三番目。

この２種類の等積変形の片方、または、両方を使って、例えば、「立方体の一つの頂点と、隣り合う３頂点を取ってできる四面体（直角二等辺三角形の面が３つと、正三角形の面が１つ）」を、正四面体に変形することはできるのでしょうか？

または、任意の四面体を別の任意の四面体（ただし、同体積）に変形することはできるのですか？

回答No.5

ojisan7 · ベストアンサー

>そもそも元の問題では、作図は考えていません。

ご質問の意味が分かりました。にゃんこ先生の出題はおもしろいですね。この問題は良問だと思います。

２次元の場合、任意の三角形を等積に正三角形に変形することは、カヴァリエリとシュターナー（２次元に応用したもの）で可能であり、この場合、両者が等価になります。カヴァリエリで等積に変形した任意の三角形はシュターナーで実現可能であり、また、その逆もいえるということです。このことは、実は３次元でも成り立ちます。証明はややこしいですが、２次元に分解して考察すればよいでしょう。
ともかく、３次元でも、カヴァリエリの原理とシュターナーの定理は等価になります。カヴァリエリの原理を使って等積に変形した任意の四面体は、シュターナーの定理を使って実現可能であり、また、その逆も成り立ちます。与えられた任意の四面体について、それと等積な四面体は、カヴァリエリだけで実現可能であり、シュターナーのみでも実現可能であるということです。四面体の「同値類」はどちらの方法でも１つだけということになります。
前述したように、証明は難しくはありませんが、手続きがややこしくなります。２次元に分解する操作を数回に分けておこなう必要があります。

お礼

ありがとうございます。
シュターナーのみでも実現可能ということで、方針ははっきりしました。
しかし、個人的には具体的な変形方法は考え付きませんので、興味があるどなたかの回答をお待ちしています。

回答No.6

chie65536

＞恐れ入りますが、任意という意味を勘違いされていると思われます。
失礼。

これを、任意の面に対し、任意の順番で、任意回数繰り返せば
を
これを、任意の面に対し、任意の順番で、すべての面が正三角形に近付くよう、無限に繰り返せば
に訂正させて頂きます。

回答No.4

ojisan7

任意の三角形を正三角形に等積変形する場合ですが、これは２次の拡大体ですから確かに作図は可能です。しかし、平行線を引くことによる等積変形の場合には、先にaを計算で求めてからでないと作図できないような気がします。

「カヴァリエリとシュターナーを使って、任意の四面体を正四面体に等積に変形できるか」という問題についても、正三角形の一辺の長さと高さを計算で求めれば、容易に変形できます。しかし、定規とコンパスという制限があるとどうでしょうか。「立体倍積問題」と同様に立方根を求めなければならないことになりますので、変形は不可能になります。
（No2の回答では可能だと書きましたがこれは定規・コンパスの制限がないものとした回答です。）

お礼

任意の三角形に対し、それと同じ面積の正三角形を新たに作図する問題と、
任意の三角形に対し、頂点を底辺と平行に動かすことによる同積変形で正三角形を作図する問題とは、ほぼ同じ気がします。
先に正三角形の一辺aを計算で求めてから作図するのが普通と思います。

そもそも元の問題では、作図は考えていません。
同値類を考えているだけです。
「カヴァリエリを使った同積変形のみで、任意の四面体を正四面体に等積に変形できる」のはＯＫとして、
「シュターナーを使った同積変形のみで、任意の四面体を正四面体に等積に変形できるか」は不明です。

シュターナーを使った同積変形のみだと、一回の変形で、向かい合う対辺同士の長さは固定されますが、それ以外の辺の長さや角度は全て異なってしまいます。
なので、うまく考えることができないのですが、「シュターナーを使った同積変形のみで、四面体を同値類に分割する」とどうなるのでしょうか？

回答No.3

ojisan7

>直角二等辺三角形の直角をはさむ２辺の長さは一意的にきまるので、それをaとします。

aの長さは作図でどのように求めましたか？

お礼

任意の三角形に対して、ヘロンの公式によって、三辺の長さから面積Sを求めると、
S=a^2/2

aは、既知の値に対して四則演算と平方根で求められるので、作図でも求められます。

回答No.2

ojisan7

平面上で、任意の三角形を正三角形に等積変形できることができれば、できます。これは、にゃんこ先生への宿題としておきます。

どこま出来て、どこが出来にゃいのか示さないと、丸投げになります。

お礼

ありがとうございます。
平面の三角形版のときは、できると知っていたので、質問文は空間の四面体版にしました。

平面の三角形版のときは、まず、任煮の三角形の同面積の直角二等辺三角形に「頂点を底辺と平行に移動させる」という同積変形させることを考えます。
同面積の直角二等辺三角形の直角をはさむ２辺の長さは一意的にきまるので、それをaとします。
手順は、任煮の三角形の一辺をaになるように変形させ、さらに、その一端の角が９０度となるように変形させれば、それは自動的に直角二等辺三角形になります。
任意の三角形を別の任煮の三角形に変形させるには、直角二等辺三角形を経由させればいいだけです。

考えてみれば、上記と同じような手順を使うことで、カヴァリエリの原理を使った「頂点を底面と平行に移動させる」という同体積変形で、任意の四面体を別の任意の四面体（ただし、同体積）に変形することができると気づきました。

しかし、シュターナーの定理を使った「四面体の一辺をその長さを固定したまま、その辺の方向にずらす」という同体積変形で、そのことができるのかはよくわかりません。それがもし分かりましたらどうか教えてください。

回答No.1

chie65536

＞任意の四面体を別の任意の四面体（ただし、同体積）に変形することはできるのですか？

は、

＞四面体の３頂点をテーブルに接するように置き、残りの頂点をテーブルと水平に移動させても、変形する四面体の体積は同じです。

を応用すれば良いのでは？

４つの面をＡ，Ｂ，Ｃ，Ｄとした時、まず、Ａの面をテーブルに接するように置けば、面Ａにない頂点を任意に平行移動出来る。

変形後、立体を転がし、Ｂの面をテーブルに接するように置けば、面Ｂにない頂点を任意に平行移動出来る。

２度目の変形後、Ｃ、Ｄ、Ａの面のどれかについて同様の事が可能。

これを、任意の面に対し、任意の順番で、任意回数繰り返せば、同体積と言う条件を成り立たせたまま立体を任意に変形出来る事になる。

お礼

恐れ入りますが、任意という意味を勘違いされていると思われます。