「速さの問題」初めてやるパターンの問題

質問

問題を解く上でいつもぶち当たる壁は、勉強しても勉強しても、いざ次の問題に挑戦すると、「やったことのないパターンなためどんな解き方をしたらいいかわからない」ということです。

やったことのあるパターンの問題なら解き方を知っていますが、やったことのないパターンは当然、やったことがない＝知らないわけですから、解けなくて当たり前ですよね。でも、たいていそれに対するアドバイスは、例えば速さなら「距離＝速さ×時間」さえ知ってれば解ける、みたいな感じでした。そこで今回はこの問題を質問します。

問
東西に一直線に延びている道路に沿って、駅から東へ1160mの距離のところに郵便局がある。A君が駅から東に向かって毎分60mの速さで歩き始め、その6分後にB君は郵便局から自転車で毎分140mの速さで西へ走り始めた。A君とB君の中間地点が駅となるのは、2人が出会ってから何分後か。

段階1
まずは2人が出会う時間を求める必要がある。B君が走り出す6分前にA君はすでに走り始めていた。60×6＝360→1160-360＝800

800＝Ｔ（60+140）→8＝2T→最初に2人が出会うのは4分後。

段階２
60×4＝240　2人が出会った場所は、駅から600ｍ地点であり、
140×4＝560　郵便局から560m地点である。

段階３
A君とB君の中間地点が駅になるということは、B君が駅にたどり着いてさらにその先に進む必要があるわけだから、
140T=600　B君が駅に着くまでの時間は、30/7分。
B君が駅に着いたそのとき、A君は　60×（30/7）＝1800/7m
600m＋1800/7m＝6000/7mにいました。

段階４
で、これ以上もうどうしようもないです。なぜなら、設問で求めさせようとしているのは、「A君とB君の中間地点が駅となるのは、2人が出会ってから何分後か。」ですが、A君とB君の中間地点が駅となる＝その時A君とB君が果たして駅から数えて何mかなんてことを割り出すのは不可能だからです。もしかしたら1000ｍかもしれないですし、ひょっとしたら8540mかもしれないです。

速さだけわかっても、距離がわからなければ時間も求めようがありませんよね。

ちなみに、段階1で書いた800＝Ｔ（60+140）という公式も、人に教えて頂いたから立てることができたのであって、自力で作ることはできませんでした。なぜなら問題には、「その6分後にB君は出発した」というややこしい条件が付け加えられているからです。

この条件がなければ、通常通り1160＝?（60+140）とすることができます。しかし、6分後に出発したわけですから、この式をこのまま使うことはできません。とはいえ、「その6分後に出発した」をどうやって式に表せばよいか、僕にはわかりません。人に教えていただいてやっと理解できたのです。

いつも書いている通り、やったことのあるパターンの問題であればどの式を使えばいいかを知っているから解けますが、やったことのない問題は、どの式を使えばいいかを知らないので、いくら勉強しても一向に問題が解けるようにならないのです。

回答No.4

noname#71905 · ベストアンサー

第４段階まで来ているなら、もう一息です。
さらに、
「A君とB君の中間地点が駅となる＝その時A君とB君が果たして駅から数えて何mか」
ということまで把握できているなら。
「なんてことを割り出すのは不可能」と考えず、

第４段階からの時間をx分として
●「B君が駅に着いたそのとき、A君は　60×（30/7）＝1800/7m、600m＋1800/7m＝6000/7m」
・・・に続けて、毎分60mで、x分進み、駅から　(6000/7)＋60x(m)
●Ｂ君は駅を超えて、毎分140mで、x分進み、駅から　140x(m)
★あとは、Ａ君から駅＝Ｂ君から駅　で、(6000/7)＋60x＝140x　
★求めたxに、(30/7)を足せばＯＫ

方程式を有効に活用すれば良いのでないでしょうか。

※　方程式を使わないで解けという問題なら
見当違いのレスになりますので、御免なさい。

お礼

ありがとうございます。

お恥ずかしい話ですが、800＝Ｔ（60+140）→8＝2Tという考え方も、問題文の「駅が中間点になる」という真意も、人に教えて頂いてやっとわかったことなのです。初めてこの問題を見たとき、ちんぷんかんぷんですぐにギブアップしました。

今回頂いた解説では、なんとか解くことができました。でも、この問題は解けるようになったかもしれませんが、テキストのすぐ隣の問題は、もうすでにちんぷんかんぷんです。なぜなら、今回学んだことは、「この問題」の解き方を学んだだけで、だからといって他の問題の解き方まで学んだわけではないからです。

回答No.10

i_noji

もう話が終わってそうですが一応

１）A君とB君の中間地点が駅となる

駅からA君までのキョリ　＝　駅からB君までのキョリ

A君が歩いたキョリ　＝　B君が走ったキョリ　－　郵便局から駅までのキョリ　　　・・・☆

A君の歩いたハヤサ×A君が歩いたジカン　＝　B君の走ったハヤサ×B君が走ったジカン　－　1160

60×A君が歩いたジカン　＝　140×（A君が歩いたジカン　－　６）　－　1160

A君が歩いたジカン　＝　25（分）　　
（”A君とB君の中間地点が駅となるまでに、A君が歩いたジカン”、と書くほうがいいかもしれません）

求めたいのは出会ってからなので、出会うまでのジカンも出す

２）A君とB君が出会う

駅からA君までのキョリ　＋　郵便局からB君までのキョリ　＝　駅から郵便局までのキョリ

A君が歩いたキョリ　＋　B君が走ったキョリ　＝　駅から郵便局までのキョリ　　　・・・☆

A君の歩いたハヤサ×A君が歩いたジカン　＋　B君の走ったハヤサ×B君が走ったジカン　＝　1160

60×A君が歩いたジカン　＋　140×（A君が歩いたジカン　－　６）　＝　1160

A君が歩いたジカン　＝　10（分）
（”A君とB君が出会うまでに、A君が歩いたジカン”、と書くほうがいいかもしれません）

出会ってから中間地点が駅になるまでのジカンは

A君とB君の中間地点が駅となるまでのジカン　－　A君とB君が出会うまでのジカン　

25　－　10　＝　15

よって　15分

☆の部分で「距離＝速さ×時間」を使いました

どうでしょう？問題文の日本語をそのまま式にしてみました。
質問者さんの言う段階１が出来れば、この問題は解けてもおかしくはないと
私は思います。
私には
１）の中間点が駅になる話も
２）の出会うまでの話も
解き方に違いを感じません（質問者さんは違うと感じられるのでしょう）。
たとえば

A君が毎分60mの速さで駅から1200m離れた郵便局へ歩くとき
郵便局に着くのは駅を出てから何分後か。

という問題でも、式は
A君が歩いたキョリ　＝　駅から郵便局までのキョリ
となり、キョリについての等式を立ててるだけなので
やはり私には同じように感じます。（違って感じますか？）

とりあえず、思ったことを書かせてもらいました
参考までに

お礼

ありがとうございます。

頂いた解説は、とてもわかりやすく、「あー、そっか！」ととても納得できるものでした。しかし、僕は人に言われるとちゃんと理解できるのですが、それを自分ひとりで一つずつ考えて式を組み立てる、というのができないのです…。

回答No.9

10239

No6です。申し訳ありません。解答が間違ってました。

Ａ君～駅までの距離をｙとすると、Ｂ君～郵便局までの距離はy+1160が正しいです。Ａ君がyまでたどり着く時間をaとすると、
y=60a
y+1160=140(a-6)：Ａ君より６分少なく走っているので、a-6です。

aはＡ君がスタートした時間ですので、出会った時間xを引くと求めたい時間になります。

--------------------------------------------------→時間
0 6分 10分 25分
Ａ君→　　　　　　　　　出会う　　
　　　　　Ｂ君→

お礼

了解です。ありがとうございました（^^）v。

回答No.8

sanori

＃５の回答者です。お礼をありがとうございました。

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＞この辺からおかしくなってきましたね。
＞実は、これらは全部、無駄な計算なんです。
僕は、こちらのサイトでは「問題文の日本語をそのまま式にすることが大事だ」というアドバイスを何度か頂いたので、それを意識して、書いてあることを一つずつ順を追って式にしていたつもりですが、なぜ無駄ということになってしまうのですか。
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「問題文の日本語をそのまま式にすることが大事だ」
は、まさに私の口癖です。
それを言われて、ぴんと来たのですが、
hypnosisさんと私は、今回が初対面ではないですね。
http://oshiete1.goo.ne.jp/qa3851165.html
http://oshiete1.goo.ne.jp/qa4144323.html
http://oshiete1.goo.ne.jp/qa4244750.html
なるほど、あのときのお方でしたか。
ここのサイトでは、
「わからない問題に出会うと、やる気をなくしてしまう」
と発言している人が多い中、
情熱と根性があるお人だなと感心していました。

さて、
この問題は、「２人が出会ってから何分後か」を問うているので、
「段階２」までの計算は、
・出会った場所を求めること、
・出合った時刻をゼロと定めること
に役立ちます。

ところが、「段階３」においては、
・Ｂが駅に着く時刻
・その時刻におけるＡの位置
を求めていますよね。
これらは、「問題文の日本語をそのまま式にする」という作業になっていません。
（実際、問題文にそのようなことは何も書かれていませんよね？）

求めなくてはいけないのは、
駅が、ＡＢの中間地点になる時刻ですよね？
Ｂが駅に到着した時刻を求めたところで、それは何も役に立たないんです。

たとえて言うならば、
「自転車が時速１５ｋｍで２時間走ると何ｋｍ進むか？」
という単純な問題があるときに、
４５分後の位置を求めるという無駄な計算をしてから、
残りの１時間１５分でその位置からどれだけ進むかを計算しているようなものなんです。

前回回答で示した、
・（出合った場所から）東がプラス、西がマイナス
・東方向の速度がプラス、西方向の速度がマイナス
という感覚を、ぜひマスターしてください。

中学受験をする頭の良い小学生が、図を描いて解くような“高度なこと”をするより、
位置（座標）、時刻、速度で式を立てるほうが、はるかに簡単なんです。

以上、ご参考になりましたら。

お礼

ありがとうございます。

＞情熱と根性があるお人だなと感心していました。
ナハハ…ありがとうございます。でも、僕も昔はすぐ投げ出していました。だから、今になってたいへん苦労・後悔しています。できることなら、昔に戻りたいです。でも、こちらのサイトで、いつも皆様にお世話になっていることに、とても感謝しています。

＞４５分後の位置を求めるという無駄な計算をしてから、残りの１時＞間１５分でその位置からどれだけ進むかを計算しているような

だから、計算していて手間かかってこんがらがっちゃったわけですね。負けずに復習を頑張ります。ありがとうございました!!

回答No.7

R_Earl

もう既に何種類か解法が出ているので、「考え方」についてだけアドバイスしたいと思います。

> で、これ以上もうどうしようもないです。なぜなら、設問で求めさせようとしているのは、「A君とB君の中間地点が駅となるのは、2人が出会ってから何分後か。」ですが、A君とB君の中間地点が駅となる＝その時A君とB君が果たして駅から数えて何mかなんてことを割り出すのは不可能だからです。もしかしたら1000ｍかもしれないですし、ひょっとしたら8540mかもしれないです。

そこまで発想ができるのであれば、もう一歩踏み込んで考えてみましょう。
「距離が何mなのかを求められない」のであれば、「距離が何mなのかを求めないまま解く方法はないか？」と考えます。
「A君～駅の距離 = B君～駅の距離」となるのは気づいたのですよね（文脈からそう感じました）？
それだったらこの等式を、そのまま方程式にすれば良いのではないかと考えれば良いんです。
この方法であれば、「A君～駅の距離」と「B君～駅の距離」が分からなくても、
この両者をイコールでつないだ方程式を解くことにより、答えが得られる可能性があります
(ANo.4の方の回答を参考にして下さい)。

「『○○と△△が等しい』という関係を見つけたなら、それをイコールでつなぐ」
方程式を利用した文章問題の解き方は、これだけだと思います。
後はいかにして等しい存在を見つけるかです。

> やったことのあるパターンの問題なら解き方を知っていますが、やったことのないパターンは当然、やったことがない＝知らないわけですから、解けなくて当たり前ですよね。

私自身、やったことがなくても(パターンを知らなくても)解けた問題はあります（もちろん、解けなかった問題もあります）。
今回の問題は、やったことがない問題に分類されます。

「パターンを知らないから解けない」ということは無いと思います。
見たことが無い問題であれば、とりあえず手持ちの知識で何とか対応できないかを考えます。

お礼

ありがとうございます。

「A君～駅の距離」と「B君～駅の距離」が分からなくても、この両者をイコールでつないだ方程式を解くことにより、答えが得られる可能性があります(ANo.4の方の回答を参考にして下さい)。

そうですね、僕の踏んだ段階の続きを組み立ててくださったので、なんとか僕にもわかりました。

しかし、今回僕がわかったのは、「この問題の解き方について」なだけで、他の問題に挑戦すると、もうすぐわからなくなってしまいます。なぜなら、この問題の解き方を今回知ったとしても、他の問題は、この問題とは違う解き方が必要とされるため、他の問題までは解けるようにならないのです。手持ちの知識で…とありますが、実際に出題される問題は、全く見たことも聞いたこともないような複雑な条件がいろいろと加えられており、やったことがないため、勉強しても勉強しても手持ちの知識は活かせないのです。

回答No.6

10239

こういった問題を解くときは図を書くのがいいと思います。今回の問題で言えば、Ａ君、Ｂ君、駅、郵便局が登場していますから図を書きます。

西 駅 郵便局 東
　　　　　　Ａ君→　　　　　　　←Ｂ君
____________________________________________________

これがスタートするときの位置関係です。
まず二人が出会う時間を求める必要がありますね。
Ａ君から見たときの出会う時間をｘ分後としましょう。ここから、出会う場所は駅から60x（ｍ）の位置であることがわかります。
次にＢ君について見てみましょう。
もし、Ａ君とＢ君が同じ時間にスタートしていれば、同じ時間に出会うはずです。Ａ君がＢ君と出会う時間がｘ分ですから、６分遅くスタートしたＢ君はＡ君より６分少なくＡ君と出会います。つまり（ｘ－６）分ということになります。Ｂ君が進んだ距離は140（x-6）になります。
これらを式にすると、
60x+140(x-6)=1160
Ａ君がスタートしてから１０分後に出会います。

ここまでは質問で書かれているのとかわりませんね。
二人の中間距離が駅になる状態は、
西 駅 郵便局 東
　　　　　　Ａ君→　　　　　　　←Ｂ君
　　　　　　－－－－－－－－－－－－－－－－→Ａ君
Ｂ君←-------------------------------
____________________________________________________
図にするとこんな感じです。
駅が二人の中間にあるので、Ｂ君から駅までの距離とＡ君から駅までの距離は同じです。Ａ君の距離をｙとすると、Ｂ君の郵便局までの距離は２ｙになります。Ａ君がかかる時間をaとすると、Ｂ君は６分遅くスタートしているので、a-6分かかることになります。
後は連立方程式を解けば終了です。

問題を解くコツとしては、
１．図を書く（スタートのとき、ゴールのとき）。
２．わからないものを変数にする。
３．Ａ君、Ｂ君など動くものを基準に考える。Ａ君にとってＢ君が何分遅くスタートしようが出会う時間はｘ分後なのです。逆にＢ君から見れば、６分Ａ君より少なくていいのでx-6分になる。

どうでしょうか？コツがつかめるとこういう問題を解くのがおもしろくなるんですが…、参考になりましたか？

お礼

ありがとうございます。

＞駅が二人の中間にあるので、Ｂ君から駅までの距離とＡ君から駅までの距離は同じです。Ａ君の距離をｙとすると、Ｂ君の郵便局までの距離は２ｙになります。

すいません、このｙと２ｙがよくわかりません。要は駅からＡ君の立ち位置の距離（ｙ）より、Ｂ君の郵便局までの距離は、それの２倍かかっている、ということなのでしょうけど、なんで２倍ということになるのですか。

回答No.5

sanori

こんばんは。

段階1
まずは2人が出会う時間を求める必要がある。B君が走り出す6分前にA君はすでに走り始めていた。60×6＝360→1160-360＝800
800＝Ｔ（60+140）→8＝2T→最初に2人が出会うのは4分後。

●そうですね。

段階２
60×4＝240　2人が出会った場所は、駅から600ｍ地点であり、
140×4＝560　郵便局から560m地点である。

●そうですね。

段階３
A君とB君の中間地点が駅になるということは、B君が駅にたどり着いてさらにその先に進む必要があるわけだから、
140T=600　B君が駅に着くまでの時間は、30/7分。
B君が駅に着いたそのとき、A君は　60×（30/7）＝1800/7m
600m＋1800/7m＝6000/7mにいました。

●この辺からおかしくなってきましたね。
　実は、これらは全部、無駄な計算なんです。

このような問題は、座標で考えるとよいです。

・Ａがいる座標をＡ、Ｂがいる座標をＢと置き、
　出合った場所の座標をゼロ、東をプラス、西をマイナスとします。
　　・Ａの速度は６０、Ｂの速度は－１４０です。
　　　（↑西方向の速度をマイナスで表すのがミソです。）
　　・駅の座標は－６００です。

・時刻をｔと置き、出合った時刻をゼロとします。

位置、速度、時間の関係により、
Ａ　＝　６０ｔ　　・・・（あ）
Ｂ　＝　－１４０ｔ　　・・・（い）

中間地点の座標は、Ａの座標とＢの座標の平均値（重心）です。
（Ａ＋Ｂ）／２　＝　－６００　　　・・・（う）

（あ）～（う）の連立方程式で解けます。

（あ）、（い）より
Ａ＋Ｂ　＝　－８０ｔ

（う）より、
Ａ＋Ｂ　＝　－１２００

つまり、
－８０ｔ　＝　－１２００
ｔ　＝　１５［分］

座標で考えること、すなわち、位置も速度も、東向きがプラスなら西向きはマイナス、というふうに考えると、
色んな問題に応用できますよ。

（実は、物理学においても必須の考え方です。）

以上、ご参考になりましたら。

お礼

ありがとうございます。

＞この辺からおかしくなってきましたね。
＞実は、これらは全部、無駄な計算なんです。

僕は、こちらのサイトでは「問題文の日本語をそのまま式にすることが大事だ」というアドバイスを何度か頂いたので、それを意識して、書いてあることを一つずつ順を追って式にしていたつもりですが、なぜ無駄ということになってしまうのですか。

回答No.3

noname#77845

＃１です。
問題は、「A君とB君の中間地点が駅となるのは、2人が出会ってから何分後か。」でした。
なので、15分後。

回答No.2

neKo_deux

問題で提示している状況が頭に浮かぶかどうか？って事だと思います。

00分＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿Ａ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿〒
01分＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿駅Ａ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿〒
02分＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿駅＿Ａ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿〒
03分＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿駅＿＿Ａ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿〒
04分＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿駅＿＿＿Ａ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿〒
05分＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿駅＿＿＿＿Ａ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿〒
06分＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿駅＿＿＿＿＿Ａ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿Ｂ
07分＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿駅＿＿＿＿＿＿Ａ＿＿＿＿＿＿＿Ｂ＿＿〒
08分＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿駅＿＿＿＿＿＿＿Ａ＿＿＿Ｂ＿＿＿＿＿〒
09分＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿駅＿＿＿＿＿＿＿＿Ｘ＿＿＿＿＿＿＿＿〒
10分＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿駅＿＿＿＿＿Ｂ＿＿＿Ａ＿＿＿＿＿＿＿〒
11分＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿駅＿＿Ｂ＿＿＿＿＿＿＿Ａ＿＿＿＿＿＿〒
12分＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿Ｂ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿Ａ＿＿＿＿＿〒
13分＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿Ｂ＿＿駅＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿Ａ＿＿＿＿〒
14分＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿Ｂ＿＿＿＿＿駅＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿Ａ＿＿＿〒
15分＿＿＿＿＿＿＿Ｂ＿＿＿＿＿＿＿＿駅＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿Ａ＿＿〒
16分＿＿＿＿Ｂ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿駅＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿Ａ＿〒
17分＿Ｂ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿駅＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿Ａ〒
18分＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿駅＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿Ａ

図の速度や距離はデタラメですが、こういうイメージが頭に浮かぶかどうか？って事では。
何なら、多少正確に目盛りを取れば、グラフで解けますし。
位置ｘと時刻ｔの関係式を作るのも容易です。

お礼

ありがとうございます。

ものすごい大作ですね（^^；。しかし、駅が中間点になるのが、一体何ｍなのかの判断がつかなければ問題は解けないと思ったのですが…。

回答No.1

noname#77845

２人の中間点が駅になったときの駅からそれぞれの距離をxとすると、
２人が出会ってからＡ君は
x-600m
進んでいます。また、Ｂ君は
x+600m
進んでいます。
この距離をそれぞれ、分速60mと分速140mの速さで進むので到着する時間は同じになるはずです。
距離＝速さ×時間
なので、時間の式に変形すると
時間＝距離÷速さ
になりますから前記の条件を代入すると、
(x+600)/140=(x-600)/60
60(x+600)=140(x-600)
60x+36000=140x-84000
80x=120000
x=1500
なので、２人は駅から1500mのところにいます。
Ａ君は
1500m-600m=900m
進んでいますから、時間は
900/60=15(分）
Ｂ君は
1500m+600m=2100m
進んでいますから、時間は
2100/140=15(分)
かかります。（当然か…）
最初に出会うまでに4分かかっているので
4+15=19(分)
がスタートからの時間になります。

問題で肝心なのは、
距離＝速さ×時間
を、判っている条件だけでどう式変形するかを考えることでしょう。

お礼

ありがとうございます。

解説にそって計算したみたところ、確かにスムーズに解くことができ、とても驚きました。

そこで質問なのですが、「２人の中間点が駅になったときの駅からそれぞれの距離をxとすると」とありますが、なぜこうすれば解ける、と思いつかれたのですか。僕は、問題文をそのまま素直に式にして、
一つずつ計算していくことで解答が出せると思ってやったのですが、それでは答えが出せませんでした。

何をヒントに、「２人の中間点が駅になったときの駅からそれぞれの距離をxと」すればいい、と判断すればよいのですか。同じ問題に挑戦した経験があれば、この問題は解けたかもしれませんが、同じ問題をやったことがなければ、「こうすれば解ける」なんてわかりませんよね…。