数学の問題がわかりません。

質問

以下の問題を途中までやったのですが、答えの値がおかしいと不安なので、どなたかどこが間違っているか教えてくれませんか？
問　 y=x^3・(1-x)^4の極値を求めよ。

解答　 y=x3・(1-x)4
y’=3x2・(1-x) 4+x3・4(1-x) 3・(-1)=(3x2・(1-x)+x3・4・(-1))(1-x) 3
=(3x2-3x3－4x3) (1-x) 3=(3x2-7x3) (1-x) 3=x2(3-7x) (1-x) 3となり、
このy’=0となればいいので、y’=0の時x=0,1, 3/7で、この時の増減表が以下の通りです。
x 　　 0 　 　　3/7　 　 　　 　1
y' + 　0 　 + 　0 　 － 　　　 0　 　 +　
y 　　 0 　 　864/2401 　 　 0

よろしくお願いします。

回答No.4

info22

#3です。
A#3の補足質問の回答

> y"=6x{x-(3-√2)/7}{x-(3+√2)/7}(x-1)^2　という式はy'を微分してもできません。

最後の項の因数分解でx^2の係数7を書き忘れて7倍が抜けていました。
A#3の
>なお、y"=6x{x-(3-√2)/7}{x-(3+√2)/7}(x-1)^2
式を次のように訂正して下さい。
y"=42x{x-(3-√2)/7}{x-(3+√2)/7}(x-1)^2

なお、y"のx=3/7の値=-576/2401は（因数分解前の式で計算しているので）
影響ありません。

計算過程は以下の通り。
y=(x^3)(x-1)^4
y'=3*(x^2){(x-1)^4}+(x^3)*4(x-1)^3
=(x^2){(x-1)^3}{3(x-1)+4x}
=(x^2){(x-1)^3}(7x-3)
y"=2x*{(x-1)^3}(7x-3)+(x^2)*3{(x-1)^2}(7x-3)+7(x^2){(x-1)^3}
=x{(x-1)^2}{2(x-1)(7x-3)+3x(7x-3)+7x(x-1)}
=x{(x-1)^2}*6{7(x^2)-6x+1}
=6x{(x-1)^2}*7{x-(3-√2)/7}{x-(3+√2)/7}
=42x{x-(3-√2)/7}{x-(3+√2)/7}{(x-1)^2}

なお、変曲点のx座標の大小関係は
0 < (3-√2)/7 < 3/7 < (3+√2)/7 < 1
また、y"が7倍に訂正した関係で

回答No.3

info22

y'の計算は合っています。
増減表はx=-∞でy'=+∞,y=-∞/x=+∞でy'=+∞,y=+∞
を追加した方が良い。
y=3/7の時のyが間違い → y=6912/823543
と訂正する。
という事で
x=3/7で極大値y=6912/823543
x=1で極小値y=0
を取ります。

なお、y"=6x{x-(3-√2)/7}{x-(3+√2)/7}(x-1)^2
y"=0となるxで変曲点となり、
x=3/7の時　y"=-576/2401<0で上に凸で極大となる。
x=1の時　y"=y'''=0となり極値を取ることが確認できない。
しかし、x=1の近傍ではx以外の変曲点が存在せず、かつ
x=1の前後でy'の符号が負から正に変化するので
x=1で極小値を取るといえる。

補足

info22さん回答ありがとうございます。
質問なのですが、y"=6x{x-(3-√2)/7}{x-(3+√2)/7}(x-1)^2　という式はy'を微分してもできません。どうしても、√が出でこなく、どのようにだしたか教えていただけませんか？

回答No.2

noname#75273

y = x^3 * (1 - x)^4
y ' = 3 x^2 * (1 - x)^4 + x^3 * 4 (1 - x)^3 * ( - 1 )
　　= x^2 * (1 - x)^3 * { 3 - 3x - 4x }
なので、上記 y ' は正解
増減表の問題ないと思います。x = 3 / 7 のときの y の値が
引っかかります。分母は、7^7 で約分できないみたいですけど。・・・
自分が計算ミスってるかも。

回答No.1

happy2bhardcore

3/7のときのｙの値を確認していませんが、他はあっていますよ。

ただ、微分した式のｘの前の－記号が2つ出せるので、
y' =(7x-3) * x^2 * (x-1)^3
としたほうがきれいです。

補足

happy2bhardcoreさんありがとうございます。
では、最大値は864/2401 最小値は0　でいいのでしょうか？
最小値が２つあるので、どのように書いたらいいのかわからいので、教えていただけませんか？