電流磁界の問題です。宜しくお願いします。

質問

下の３つの問題の解き方が全く分からず困っています。
どなたか分かる方、教えていただけると幸いです。

１．
直径が３２cmで１回巻の円形コイルを鉛直に立て、その中心に小さな磁針を置き、ＮとＳの方向を円の面内に含むようにコイルを調節した。
次に、コイルに一定の電流を流したところ、磁針が最初の方向から水平面内で８．２°だけずれた。
地磁気の磁束密度の水平成分３．０×（１０の－５乗）Ｔをもとにして、この電流の大きさを求めよ。

２．
直径１．２mmの直線状の導線に２．４Aの電流が流れているとき、導線の内外の磁界の強さを求めよ。ただし、導線中の電流密度は均一であるとする。

３．
直径０.２０mmの銅線を、外径１４mm、長さ１８cmの円筒に一様に１８００回巻き付け、これに１２Ｖのバッテリーで電流を流したとき、円筒中心部の磁界と磁束密度を求めよ。ただし、銅の体積抵抗率は１．７×（１０の－８乗）Ωmである。

回答No.3

physicist_naka · ベストアンサー

> １について
> >磁束密度の横向きの（つまり円の面に対して垂直の向き）の成分を
> >求めます。これは水平成分３．０×（１０の－５乗）Ｔとθ＝８．２°という条件
> >から計算できますね。
> えっと、済みません、どういう関係式で求めることができるのでしょうか？

どういう関係式というほどのものではありません。
磁束密度の横向きの成分Bは、
　　B＝3.0×10^-5×tan(8.2°)　T
となります。紙に磁束密度ベクトルの図を書いてよく考えてみてください。
後はｄＨ＝Isinθds/4πr×rを使って電流を求めます。
　　B＝μ∫Isinθds/4πr×r
で、積分経路は円形の線ですね。ｒは円の中心からの距離です。
θは90°ですからあとは出来ますね。

> ２について
> ｄｓ＝ｒ／sinθｄθ,r=a/sinθとおいて、
> ∫H・ｄｓ＝(I/4π)∫sinθ/aｄθ=(I/4πa)[-cosθ]{π-0}=0.38197/a[A/m]
> でいいんですか？

ん？なぜこのようになるのかわかりません。導線の外側の磁界を
求める式を導出してみますので参考にしてください。
　　∫H・ｄｓ＝∫i・ｄS　　（１）
の左辺は、Hはθに依存しないので、
　　∫H・ｄｓ＝∫Hｒｄθ＝2πｒH
となります。ｒは線の中心からの距離です。右辺は、
　　∫i・ｄS＝I
となるので、（１）より、
　　H＝I/2πｒ　　　　　　（２）
となります。
導線の内側はこの式は使えません。でもスタートは（１）式からです。

> 3について
> 銅線の長さは外径１４mm×１８００回×２π＝１５８．３４ｍ

すみません。前のアドバイスは間違いで、銅線の長さは外径１４mm×１８００回×π
となります。直径と半径を間違えていました。

> Ｒ＝１．７×（１０の－８乗）Ωm×158.2／0.0001×0.0001×π＝８５．６８Ω
> となり、
> I=12V/85.68=0.14A
> H＝nI=（1800／0.18）×0.14A＝1400A/m
> となるのですが・・・。
> あと、磁束密度は B=μＨで求めるのですか？

ファクター２を除いてあってます。
１、３、ともに数値としての解を求めるようですので、μとしては
真空中の透磁率を使うのでしょう。

お礼

お礼が遅れて済みませんでした。
やっと３問とも解く事ができました。
本当に丁寧に押していただき、どうもありがとうございました。

回答No.2

physicist_naka

> １についてですが、「ｄＨ＝Isinθds/4πr×r」の式を使うのでしょうか？
> θ＝８．２°で、ｒ＝１６cmとするのでしょうか？
> あと、「水平成分３．０×（１０の－５乗）Ｔ」は磁束密度Ｂの事ですよね？

これらはその通りです。

> これらをどのようにしていったらいいのでしょうか？

まず、磁束密度の横向きの（つまり円の面に対して垂直の向き）の成分を
求めます。これは水平成分３．０×（１０の－５乗）Ｔとθ＝８．２°という条件
から計算できますね。その磁束密度が、コイルによって作られたものです。
後はｄＨ＝Isinθds/4πr×rを使って電流を求めます。

> 次に２についてですが、もう少し詳しく教えていただけませんか？

∫H・ｄｓ＝∫i・ｄSは、マックスウェル方程式の一つ、rot H＝ｉの両辺を
面積分して変形すると出てきますが、その積分の範囲は上手に決めてやる必要
があります。対称性から磁界は線の垂直断面内で、同心円状になります。
ということは、この積分範囲は線の中心を中心とする円とするのが適当な
選択となります。とにかく計算してみてください。

> 最後に３ですが、銅線の長さは外径１４mm×１８００回＝２５．２ｍでしょうか？

２πが抜けてます。

> だとすると、Ｒ＝１．７×（１０の－８乗）Ωm×２５．２／0.001×0.001×π＝

線の半径は0.0001ｍです。

> 13.636 となって、I=12V/13.636=0.88A
> H＝nI=1800×0.88A＝1584 A/m
> B=μＨとなるのですか？

ｎは全巻き数ではなく、単位長さ当たりの巻き数です。
わからなければまた質問してください。

お礼

丁寧な回答をしていただき、ありがとうございます。
１について
>磁束密度の横向きの（つまり円の面に対して垂直の向き）の成分を
>求めます。これは水平成分３．０×（１０の－５乗）Ｔとθ＝８．２°という条件
>から計算できますね。
えっと、済みません、どういう関係式で求めることができるのでしょうか？

２について
ｄｓ＝ｒ／sinθｄθ,r=a/sinθとおいて、
∫H・ｄｓ＝(I/4π)∫sinθ/aｄθ=(I/4πa)[-cosθ]{π-0}=0.38197/a[A/m]
でいいんですか？

3について
銅線の長さは外径１４mm×１８００回×２π＝１５８．３４ｍ
Ｒ＝１．７×（１０の－８乗）Ωm×158.2／0.0001×0.0001×π＝８５．６８Ωとなり、
I=12V/85.68=0.14A
H＝nI=（1800／0.18）×0.14A＝1400A/m
となるのですが・・・。
あと、磁束密度は B=μＨで求めるのですか？

回答No.1

physicist_naka

アドバイスします。

１．８．２°ずれたということは、磁束密度のベクトルはその方向に向いていると
いうことですね。そうなるためには横向きにどのくらいの磁束密度が必要でしょうか。
この横向きの磁束密度は、コイルによって作られたものですね。
そうすると、電流はいくら流れていることになるでしょうか。

２．∫H・ｄｓ＝∫i・ｄS（左辺の積分は線積分で、線のある断面の、線の
中心を中心とする円。右辺の積分は面積分で左辺の円の部分。）を使います。

３．外径１４mm、長さ１８cmの円筒に一様に１８００回巻き付たということは、
銅線の長さはどうなりますか。そして銅線の直径、銅の体積抵抗率がわかって
ますから、銅線全体の抵抗は計算できますね。で、抵抗がわかれば１２Ｖの電圧を
かけたということで、電流が計算できますね。
コイルに流れる電流が求まったということですから、それから磁界と磁束密度
が求まりますね。

わからなければまた質問してください。

お礼

回答していただき、ありがとうございます。
・・・２時間くらい考えたのですが、よく分かりません。

１についてですが、「ｄＨ＝Isinθds/4πr×r」の式を使うのでしょうか？
θ＝８．２°で、ｒ＝１６cmとするのでしょうか？
あと、「水平成分３．０×（１０の－５乗）Ｔ」は磁束密度Ｂの事ですよね？
これらをどのようにしていったらいいのでしょうか？

次に２についてですが、もう少し詳しく教えていただけませんか？

最後に３ですが、銅線の長さは外径１４mm×１８００回＝２５．２ｍでしょうか？
だとすると、Ｒ＝１．７×（１０の－８乗）Ωm×２５．２／0.001×0.001×π＝13.636
となって、I=12V/13.636=0.88A
H＝nI=1800×0.88A＝1584 A/m
B=μＨとなるのですか？

馬鹿な質問で済みません。