数学の質問

質問

いくつかありますが、よろしくお願いします。

1
a1=2,an+1=1/2an+(1/an+)のときan≧√2を相加相乗を用いて簡単に示せるそうですが、わかりません。数学的帰納法ではなく相加相乗を用いた回答をお願いします。

2
9/11のあまりが9いうのがいまいちしっくり着ません。理解できることはできるのですが、なんかわからないので教えてください。

3
フェルマーの小定理m^p≡m(modp)の意味は理解できますが、これもしっくり来ないので、日本語的に噛み砕いて教えてください。大学受験の整数問題を解ける程度の合同式を扱うことはできます。

4
a1+a2+・・・・・+an=Snとするとき、S4mというのは何を表すのでしょうか。日本語的に理由も含めてわかりやすく教えてください。

5
これはまったく理解できません。分数関数f(x)=x/(x-p)(x-q)においてp,qはどう符合とする。

5'
p≠qとすると、lim(x→p±0)*f(x)のうちどちらかは∞、もうひとつは-∞に発散する。

5''
p=q>0とすると、lim(x→p±0)*f(x)=∞となる。

5'と5''は縦の漸近線ができて発散するのはわかりますが、∞か-∞なのかが判断できませんし、「p≠qとすると」「p=q>0とすると」という条件があるとそれぞれなんで上のようになるのかもまったく持って理解できません。超詳しく馬鹿でもわかるように教えてください。極限の考え方は一応理解しているつもりですが、つまずいている可能性があると思われたらそこも丁寧に解説お願いします。

以上をよろしくお願いします。

回答No.3

age_momo · ベストアンサー

>lim(x→p±0)*f(x)=∞もたとえば、y=1/(X-1)^2を考えても±∞に行くような気がします。

気がしますといわれても困ります。実際計算してみてください。
x=0.99999や1.000001でどちらかが負になると思いますか？
ありえません。単なる勘違い、思い込みです。
先にも書いたようにこれらが正か負かはそれぞれの正負によります。
A=x , B=1/(x-p) , C=1/(x-q) なら

f(x)=A*B*C

です。0<p<qで p<x<q　なら
A>0 , B>0 , C<0 つまり正×正×負ですから、この範囲なら
必ず負になります。これはf(x)の値が0付近だろうが、∞に
発散中だろうが変わりません。また、q<xなら全部正になりますから
結果も正になります。同様にf(x)の値によりません。だから

>p≠qのとき、qの前後でもpと同じく、どちらかが∞、-∞に飛んでいると考えてよいでしょうか。

これはその通りです。

g(x)=x(x-p)(x-q)

だったとしたら正か負かを決めるのに解説で書いてあるような
場合わけが妥当だと思いませんか？分数関数でも
全く同じです。要はxがどこにあればそれぞれが正と負の
どちらになるかということです。

お礼

ありがとうございました。

回答No.2

arrysthmia

１
(1/2) a_n と 1 / a_n の相加平均と相乗平均を比較するだけですが、
No.1 の方も指摘しておられる通り、相加相乗平均の関係を適用
するためには各 a_n が正数であることを示しておく必要があり、
そのとき帰納法を使うことになりそうです。

２
しっくりも何も、定義は覚えるしかなく、逆らっても無意味です。
与えられた自然数 a, b に対し、a = b q + r が成り立つような
整数 q と、0 以上 b 未満の整数 r は、ひと組だけ存在します。
この r を 「a を b で割った余り」と呼ぶのです。
a = 9, b = 11 ならば、q = 0, r = 9 です。

３
フェルマーの定理の意味は、(数論における)オイラーの定理の
特別の場合と見たほうが、つかみ易いかもしれません。
フェルマーの定理を経由せずにオイラーの定理を証明するには、
オイラー関数が、剰余環の乗法群の位数であることを使えばよい。

５
y = f(x) のグラフに着目したのなら、漸近線 x = p と x = q が
一致する場合としない場合で、様子が違うことには気づいたでしょう？
どちらの場合も　lim[x→p] | f(x) | = +∞ ですが、
p ＝ q なら、f(x) は x≒p の近辺で　(定数) / (x-p)^2 に似ており、
p ≠ q なら、f(x) は x≒p の近辺で　(定数) / (x-p) に似ている
ということです。
ここで「似ている」とは、x→p のとき 差→0 という程の意味です。

補足

no1,no2さんありがとうございます。自分で考えてみたところ５だけはいまだにわからないのでサイドお願いします。

p≠qのとき、qの前後でもpと同じく、どちらかが∞、-∞に飛んでいると考えてよいでしょうか。

lim(x→p±0)*f(x)=∞もたとえば、y=1/(X-1)^2を考えても±∞に行くような気がします。Xを正にしてもyは関係なくマイナスにも発散しますよね。

再度お願いします。

回答No.1

age_momo

質問の態をなしていないものがあるようですね。
とりあえず、回答と補足要求をしておきます。

１．a[1]=2,a[n+1] = a[n]/2 + 1/a[n]　　という式でしょうか？
初項が正ですから各項も正+正で正です。その確認をしてそのまま、相加相乗平均でしょう。

a[n+1] = a[n]/2 + 1/a[n] ≧ 2*√{a[n]/(2*a[n])} = 2 * √(1/2) = √2

２，３．何が『しっくり』こないのか補足ください。これではまるで
『今日は体調が悪いのですが何の病気か詳しく回答ください』
と聞いているようなものですよ。
ただ、9/11はそのままでは余りはありません。
書き方を変えれば0.818181・・・の余りは9です。といっている様なものです。
何か省略していませんか？

４．これまた、解説のほんの一部を抜き出した様な質問ですね。
>a1+a2+・・・・・+an=Snとするとき、S4m
単に4の倍数項までの和を表しているとしか答えようがないと思います。

５．∞に近づこうが0に近づこうが正か負かはそれぞれの正負にかかってくるでしょう。
今、

f(x)=x/(x-p)(x-q)=x * 1/(x-p) * 1/(x-q)

と見なせばそれぞれの正負を考えればよいことは明らかです。
つまり、0,p,qの大小関係となります。
p≠q (かつ、pq≠0)ならばpの前後で 1/(x-p)の符号が変わりますから
どちらかが∞で後一方が-∞に近づくのは明白です。
どちらが正か負かは先にも書いたように大小関係です。例えば
0<p<qなら
(負)0(正)p(負)q(正)
なのでpよりほんの少し小さければ正ですし、ほんの少し大きければ負です。
また、p=qなら(x-p)(x-q)≧0ですから、xの符号だけの問題になります。