ベクトルの積分『∫(A→B)Fｄｒ』の計算の仕方を教えてください。

質問

皆様、こんにちは。

ベクトル積分『∫(A→B)Fｄｒ』の計算の仕方を教えて頂きたいのですが。

A、Bは空間の座標でそれぞれ（Xa、Ya、Za）、(Xb、Yb、Zc)。
F、ｒも３次元のベクトルで、
ｒは空間の位置のベクトルです。

Fの例として
Fx(Fのｘ座標)＝Cx/(x^2+y^2+z^2)^(3/2)
Fy(Fのy座標)＝Cy/(x^2+y^2+z^2)^(3/2)
Fz(Fのz座標)＝Cz/(x^2+y^2+z^2)^(3/2)
（Cはただの定数です。）
で教えて頂けるとありがたいです。
（この例だと答えが分かっていますので。）

多分この例の答えは
ーC/(Xa^2+Ya^2+Za^2)^(1/2)+C/(Xb^2+Yb^2+Zb^2)^(1/2)です。

少し数値が複雑そうですが、物理の保存力の基本問題です。

ベクトルの積分の計算方法をご存知の方やり方を教えて頂けないでしょうか。よろしくお願いします。（２次元の時は何となく分かった気になっていたのですが、３次元になって全く分からなくなってしまいました。）

回答No.1

proto

Fが物理で言うところの保存力ならば積分は経路に依らないから、計算しやすいように経路を決めてやればよいです。
具体的には
　(Xa,Ya,Za) → (Xb,Ya,Za) → (Xb,Yb,Za) → (Xb,Yb,Zb)
とでもすればok

(Xa,Ya,Za)→(Xb,Ya,Za)の区間では、dr=(dx,0,0)ですのでF=(Fx,Fy,Fz)との内積を取るとFx・dxになります。
結局、上記の積分は
　　∫[Xa→Xb]{Fx}dx
と書き換えられます。
ただしFxはy=Ya,z=Zaに値を固定してxの関数として積分していることに注意してください。

残りの区間も同様に、
(Xb,Ya,Za)→(Xb,Yb,Za)の区間は
　　∫[Ya→Yb]{Fy}dy
(但しx=Xb,z=Zaに固定)

(Xb,Yb,Za)→(Xb,Yb,Zb)の区間は
　　∫[Za→Zb]{Fz}dz
(但しx=Xb,y=Ybに固定)
となります。
最後に全ての区間での値を足し合わせれば終わりです。

またはこのように3区間に分けずに、
AとBをつなぐ直線を考えて
　　r = (B-A)t + A　(0≦t≦1)
と置いて、tに変数変換する方法も考えられます。
このやり方の場合は、Fもdrもtの関数として成分ごとに書き出してみてから内積を取り積分すれば、tについての1変数の積分に置き換えられます。

お礼

大変詳しいご説明、どうもありがとうございます。

まだ完全に分かったわけではありませんが、protoさんの解説を読み直してじっくり考えてみます。

この度はどうもありがとうございました。