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３変数関数の最大最小
info22の回答
球Ｏ：x^2+y^2+z^3=1 に平面α：x+2y+3z=k が共有点を持つ範囲でkのとりうる最大値、最小値は 平面αが球Ｏに接する場合から求められる。 平面αは球Ｏに接する時、接点P,Qを通る法線が球の中心(0,0,0)を通る事から 法線は媒介変数表示で (x,y,z)=(t,2t,3t) と書ける。この関係式を球Ｏの式に代入すると t^2(1+4+9)=1 これから、t=±1/√14 t=1/√14のとき、接点は(x,y,z)=(1/√14,2/√14,3/√14)であり この時 k(max)=x+2y+3z=(1+4+9)/√14=√14 が求まります。 また同様にして, t=-1/√14のとき、接点:(x,y,z)=(-1/√14,-2/√14,-3/√14)と 最小値 k(min)=x+2y+3z=(-1-4-9)/√14=-√14 が得られます。 参考URLの極座標でr=1として k=x+2y+3z=sin(t)*cos(p)+2*sin(t)*sin(p)+3*cos(t)=f(p,t) (0≦p≦π,-π≦t≦π) (p=θ,t=φとおいています） に直しても解けます ここからは偏微分を使いますので高校生には難しいですね。 f_p(p,t)=0,f_t(p,t)=0の解から 最大、最小となる(p,t)をピックアップすると （f_pp(p,t)と判別式で鞍点は除外する） k(max)=f(arctan(2),arctan(√5/3))=√14 k(min(=f(arctan(2)-π,π-arctan(√5/3))=√14 が得られます。
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