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二項定理の応用が解けなくて困っています
stomachmanの回答
- stomachman
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stomachmanです。 oodaiko先生 < なるほど仰る通りですネ。 f(^^;; oodaiko先生は、nが非負の整数、aが負の整数の場合には a^n=a(a-1)…(a-n+1) は定義されるけど n! aCn = a!/(a-n)! は!をどう解釈したって右辺のa!, (a-n)!が定義されないという事を仰っています。だから (a+b)Cn= Σ(aC(k))(bC(n-k)) (Σはk=0,....,n)--- (1'') もダメ。Γ関数なんてイイノガレもΓ(n)はn=0,-1,-2...が極ですから値が定義されなくてダメ。負整数のn!を定義してもいいけどその場合も(1'')の証明をやり直さなくちゃダメ。 逆に言えば、aCn = a@n / n!と定義しなおせば恒等式(1'')が成り立つことを、oodaiko先生の証明が示しています。 この証明を見た上で (a+b)^n = Σ(nCk) (a^k) (b^(n-k)) (Σはk=1,....,n)--- (1) に戻って考えますと、gachapinさんのご質問のタイトル通り、これはまさしく一般化された二項展開に他ならない。a,bは普通の数である必要はないし、演算+,×も普通の和や積である必要はなく可換環Aなら良い。(ただしnCkの中身とn-kの所は普通の数の計算。)そして冪^も a^0 = I (単位元)、a^n = f(a,n)×{a^(n-1)} f: A×N → A、f(a,n)+f(b,m)=f(a+b,n+m) という形なら何でもアリ。こういう風に冪が一般化できるとは面白いですね。
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