二項定理の応用が解けなくて困っています

質問

以下に書く問題の答えを教えてください！

a^0=1, a^1=a, a^n=a(a-1)…(a-n+1), n>1とする。以下の等式を証明しなさい。

n n
　　　(a+b)^n=Σ( )a^k・b^(n-k)
k=1 k

どうか助けて下さい。お願いします。

回答No.1

stomachman

●半角使ったのかスペースがずれちゃってるけど、
(a+b)^n = Σ(nCk) (a^k) (b^(n-k)) （Σはk=1,....,n）--- (1)
という意味かな。ここにnCk = n!/k!/(n-k)!
つまりa^k = a!/(a-k)! = k! (aCk)という意味。

●まず、これ、n=1で成り立ちますか？
(a+b) = Σ(1Ck) (a^k) (b^(1-k)) =(1C1) (a^1) (b^(1-1)) =a。
だめじゃん。

●どうやらΣはk=0～nまで取らなきゃいけないようです。
(a+b)^n = Σ(nCk) (a^k) (b^(n-k)) （Σはk=0,....,n）--- (1')
これを整理すると、
n!((a+b)Cn) = Σ(n!/k!/(n-k)!) k!(aCk) (n-k)!(bC(n-k))
よって、
(a+b)Cn= Σ(aC(k))(bC(n-k)) （Σはk=0,....,n）--- (1'')
これは公式
(n+m)Cp = Σ(nCr)(mC(p-r)) (Σはr=0,....,p)
にドンぴしゃ。
Q.E.D.
で宜しいかな？問題間違えぬようにお願いしますよぉ～(^^;

お礼

解答をありがとうございました！とても助かりました！！
これでなんとかなります！本当に助かりました！！
問題を間違えちゃってすみません。。。
次回は間違えないように気をつけます。
本当にありがとうございました！！