a^x=>xについて

質問

a^x=>xが、任意の正の実数について成り立つようなaの値の範囲を求めなさいという問題があるのですが、よくわかりません。a=x^(1/x)まで求めて、エクセルに入れると1.44224957ぐらいが上限になるのはわかるのですが…。だれかわかりませんか？

回答No.3

noname#44733 · ベストアンサー

別解を。多少見通しが良いかと。
ｘは正だから両辺の自然対数をとれます。
xloga>=logx
logaをmとおきます。（a=e^mです。）
原点を通る直線y=mxが対数関数のグラフy=logxより上にあるmの範囲を求めればよいわけです・・もちろん、それらが接するときのmの値が下限となるわけです。
グラフy=logx上の点(p,logp)における接線の傾きは微分により1/pとわかりますから、接線が原点を通るとき1/p=logp/pよってp=e、そのときの傾きは1/e、これがmの下限。そのときのaの値はe^(1/e)と求めることができます。

回答No.2

info22

＞a=x^(1/x)まで求めて、エクセルに入れると1.44224957ぐらいが上限になるのはわかるのですが…。
上限ではありません。下限です。
a≧e^(1/e)≒1.4446678610097661337
eはネピア数（ネイピア数、自然対数の底）です。

y=(a^x)-x …(1)
このグラフの最小値がx>0で0以上となるような条件でaの値が求められます。
一応、a＞0で考えることにします。
y'={ln(a)}(a^x)-1
y'=0となるxはx=-ln(ln(a))/ln(a)=xo
0<x<xoで y'<0
x>xoで　y'>0
ですので
x=xoでyは最小値（極小値）
(1+ln(ln(a)))/ln(a)
をとります。
この最小値が
(1+ln(ln(a)))/ln(a)≧0
となるaの範囲が求める範囲です。
これを解けば
a≧e^(1/e)
と出てきます。
なお、この時の最小値0を与えるxは
x=e
となります。

回答No.1

Mr_Holland

f(x)=a^x-x とおいて、x＞０において最小値が０以上になるａに範囲を求めればよいと思います。その際は、f(x)を微分して増減表で考えると良いかと思います。

　なお、a=x^(1/x)として求める方法は、ｘ＞１、ｘ＜１で場合分けしないと不等号の向きが変わりますので難しいように思います。

　ちなみに、ａがある値より大きければ、a^x=>x　は必ず成立すると思いますが。（ａが無限大なら成立することが明らかですよね。）