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置き換えを使う2次関数の最大・最小
置き換えを使って・・となったらわからなくなってしまいました・ Y=(X(2)-2X)(2)-4(X(2)-2X)-2 (-1≦X≦2) ((2)は二乗と読んでください) このときの最大値、最小値を求めよ。 という問題です。 置き換えまでは参考書でなんとかやってきたのですが、もうわかりません・・。 どなたか、解き方と答えを教えてください。お願いします・・。
- kinakopan8
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#2です。 お礼と補足をありがとうございます。 >すみません、2段階目のグラフを描いてみたら、最小値は頂点のー6かなあ、??と思ったんですが・・・。何度もすみません。 その通りです。 たびたびの計算間違いをお詫びします。 > yの最小値:y=-5 (z= 1のとき)⇒(x=-1のとき) (正) yの最小値:y=-6 (z= 2のとき) ところで、z=2となるxの値を求めると、次の2次方程式の階となりますので、 x^2-2x=2 ∴x=1±√3 ただし、xの範囲は、-1≦x≦2 ですから、x=1+√3 は除外され、x=x=1-√3 のみ範囲に含みますので、 ∴x=1-√3 したがって、yが最小値をとるのは、次のときになります。 yの最小値:y=-6 (z= 2のとき)⇒x=1-√3 混乱させてしまって、本当にごめんなさい。
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- Mr_Holland
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#1です。 補足を拝見しました。 >でも、、すみません、zの最大値なのですが、x=-1のとき、3にならないでしょうか・・・?すみません!わからないです・・。 その通りです。書き間違いました。 ごめんなさい。私のほうこそ落ち着かなければなりませんね。 > zの最大値:z= 1 (x=-1のとき) (正) zの最大値:z= 3 (x=-1のとき) > zの最小値:z=-1 (x= 1のとき) > ∴-1≦z≦1 ・・・・・(C) (正)∴-1≦z≦3 ・・・・・(C) > 次に、式(B)も同様に平方完成の式に変形しますと、 > y=(z-2)^2-6 > となりますから、式(C)の-1≦z≦1 の範囲でyの最大と最小は次の値を取ります。 (正) となりますから、式(C)の-1≦z≦3 の範囲でyの最大と最小は次の値を取ります。 > yの最大値:y= 3 (z=-1のとき)⇒(x= 1のとき) > yの最小値:y=-5 (z= 1のとき)⇒(x=-1のとき) (正) yの最小値:y=-5 (z= 3のとき)⇒(x=-1のとき)
お礼
ありがとうございます!なんだかわかってきました。 いきなり縦軸y、横軸xのグラフがかけないから、2段階にわけて、 初めに縦軸z,横軸xのグラフを描いて、与えられたxの範囲からzの最大・最小を求めて、 次に縦軸y、横軸zのグラフを描いて、上で求めたzの範囲でyの最大・最小を求める!・・ということでいいんですよね・・ なんだかわかってきたみたいです。朝からずっと考えてました・・。ありがとうございます!2年に進級できるようにがんばります。
補足
すみません、2段階目のグラフを描いてみたら、最小値は頂点のー6かなあ、??と思ったんですが・・・。何度もすみません。
- Mr_Holland
- ベストアンサー率56% (890/1576)
焦らずに落ち着いてやりましょう。 まず、問題の式は、次の式でいいですか。 y=(x^2-2x)^2-4(x^2-2x)-2 (2乗は「^2」で表します。) これでよければ、x^2-2x という共通の項がありますので、これをzとおいてみますと、次のように変形できます。 z=x^2-2x ・・・・・(A) y=z^2-4z-2 ・・・・・(B) まず、式(A)を平方完成の形に変形しますと、 z=(x-1)^2-1 となりますから、-1≦x≦2 の範囲でzの最大と最小は次の値を取ります。 zの最大値:z= 1 (x=-1のとき) zの最小値:z=-1 (x= 1のとき) ∴-1≦z≦1 ・・・・・(C) 次に、式(B)も同様に平方完成の式に変形しますと、 y=(z-2)^2-6 となりますから、式(C)の-1≦z≦1 の範囲でyの最大と最小は次の値を取ります。 yの最大値:y= 3 (z=-1のとき)⇒(x= 1のとき) yの最小値:y=-5 (z= 1のとき)⇒(x=-1のとき) 以上のことから、yの最大・最小が求められます。
補足
ありがとうございます。 でも、、すみません、zの最大値なのですが、x=-1のとき、3にならないでしょうか・・・?すみません!わからないです・・。
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