「ポアソン分布」とは？

質問

教えてください。

一般に電話応対などの現象は待ち行列理論として研究されているが、その中でポアソン分布という言葉があるがこれは何を意味しますか？

回答No.6

Ishiwara · ベストアンサー

今から1秒後に電話がかかってくる確率が、常に1/1000だとします。しかし１時間も待てば、何回かはかかってくるでしょう。1000回に１回しか当たらないクジでも、3600回も引けば、何回かは当たるでしょう。電話の回数（当たりの回数）を一定の時間（一定の本数）ごとにメモしていくと、ある非対称の分布が得られます。これがポアソン分布です。

このように、（比較的ヒマな）お店に客がやってきたり、宇宙からニュートリノが飛んできたり、ポアソン分布に従う分布は、たくさんあります。ここで「しばらく電話が来ないから、そろそろ来るに違いない」というような「結果によって次の確率が変わる」ことがない点が重要です。

ポアソンという統計学者が、軍隊で馬に蹴られて死んだ人の統計から考えついたものです。馬に蹴られる確率はごくわずかですが、軍隊にはたくさんの馬と兵士がいるので、「当たりの少ない宝くじをたくさん買った」ような結果になるわけです。

ポアソン分布の自由度は、平均値の期待値といってもよく、１時間ごとに電話数を記録し、それを長い年月続けたときの平均値と思えばいいでしょう。１時間につき、ちょうど平均１回の割合であれば、自由度が１である、といい、1回もこない確率は１/ｅであり、ちょうど1回である確率も１/ｅです。

また、現象が「まれ」だからポアソン分布になるのであって、もし客が短時間に大勢やってくるときは、自由度がどんどん大きくなって、一般に正規分布になります。また、逆に、二項分布で、確率と試行数の積を一定にしておいて確率を０に近づけると（つまりクジ１枚の値段は変えずに、当選確率を減らし賞金額をどんどん大きくすると）ポアソン分布になります。

お礼

丁寧な回答ありがとうございました。
参考に致します。

回答No.7

Ishiwara

すみません、＃６の最後の部分で、訂正です。

誤：（つまりクジ１枚の値段は変えずに、当選確率を減らし賞金額をどんどん大きくすると）

正：（つまり、当選確率を減らし、それに反比例して買う枚数をどんどん多くすると）

ここでは「当たり/はずれ」だけを問題とし、賞金額のことは考えていませんでした。

回答No.5

xs200

#3の修正

> eは2.71828…という自然対数です

eは自然対数の底です。ネピア数またはネイピア数と呼ばれます。
自然対数はネピア数を底とする対数です。

回答No.4

sanori

訂正です。

「二項分布や」を削除、です。

回答No.3

F_P_E

はじめまして．

ポアソン分布は，二項分布の極限分布です．

まず，二項分布についてですが，これは高校でも出てきたと思われますが，一つの事柄Aの確率をp，もう一つの事柄Bの確率をq(=1-p)とします．このとき，n回の独立な試行に対してx回のAが出現する確率をPn(x)とします．これは例えば，A=(コインの表)とB=(コインの裏)についてn回のうちx回表が出る確率に相当します．このPn(x)は

Pn(x) = nCx・p^x・q^(n-x)

で表されます．これが二項分布と呼ばれるものです．二項分布の平均値はnp，分散はnpqと一般的に求めることができます．

さて，次にポアソン分布についてですが，先の二項分布について，npを一定に保ったまま，n→∞の極限を取ります．つまり，pは無限小となりますが，0ではありません．このような分布がどのようになるかといいますと，np ≡ m(=const)としてpを消去してまとめますと，

Pn(x) = m^x/x!・[(1-m/n)^n]・[n!/{(n-x)!・(n-m)^x}]

となります．ここでn→∞としますと，1つ目の[]の中身は

(1-m/n)^n → e^(-m)

となります．ここでeは2.71828…という自然対数です．

さらに2つ目の[]の中身はn→∞の極限では1になります．

結局，np ≡ m(=const)のもとでn→∞とすると

lim_{n→∞}Pn(x) = m^x・e^{-m}/x!

となります．上式の右辺がポアソン(Poisson)分布と呼ばれるものです．このポアソン分布はmという唯一のパラメータで特徴付けられ，その分布の平均値はm，分散もmという特徴を持つ分布です．

ポアソン分布とは極めて起こりにくい事象Aについて無限回の独立試行を行った時，事象Aがx回起こる分布を表しています．

また，待ち行列理論に関してですが，Erlang方程式を導く際にこのポアソン分布が利用されます．

以上，長くなってしまいましたが，ご参考になれば幸いです．

お礼

難しいですが、参考になりました。
ありがとうございました。

回答No.2

sanori

ポアッソン分布の説明は、ネット上にも書籍にも、いくらでもあると思いますので、
私からは、直感的な理解のしかただけ回答いたします。

まず、
百点満点のテストで全受験者の平均点が５０点だったとしましょう。
このとき、横軸を点数、縦軸を度数（その点数の人数）としたグラフを作成すると、二項分布や正規分布（ガウス分布）と呼ばれる、平均の場所をピークとした左右対称の形のグラフになることが知られています。

次に、
やはり百点満点のテストではあるのですが、超難問ばかりの出題で、平均点が２０点とか１０点しかないとしましょう。
この場合のグラフは左右対称にならず、ピークの右側は、なだらかな形になります。
実は、それがポアッソン分布です。

右側のグラフ参照。
http://en.wikipedia.org/wiki/Poisson_distribution

下記は難しくて、なんのこっちゃ分からないと思いますが、一応、ご参考に。
http://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%9D%E3%82%A2%E3%83%83%E3%82%BD%E3%83%B3%E5%88%86%E5%B8%83

なお、
待ち行列理論との関連ですが、
ポアッソン分布は、上記の難問テストの例のごとく、ある事象（正答を書く）が発生する確率が非常に小さい場合の分布です。
待ち行列理論は、非常に短い時間の間に立て続けに２名以上の客がやってくることはないというモデルで組み立てられています。
何となく、両者の接点がイメージできますか？

お礼

やはり数学は難しいですねぇ～。
参考になりました。ありがとうございます。

回答No.1

Interest

まず google で。それでだめなら Wikipedia 。

google ポアソン分布
http://www.google.co.jp/search?hl=ja&q=%E3%83%9D%E3%82%A2%E3%82%BD%E3%83%B3%E5%88%86%E5%B8%83&lr=

あら、Wikipedia が一番上に来てたよ。

お礼

ありがとうございます。
参考にします。