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フーリエ変換：実空間と逆空間の対応について
Umadaの回答
- Umada
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「逆格子」って、最初はものすごくとっつきにくいんですよね。小さな逆格子ベクトルが実空間で大きなベクトルに対応??? なんでこんな不可思議なものをわざわざ導入するの?とお思いになることでしょう。 でもこれに似たような例は経験されているはずです。一番分かりやすい例は実時間の信号←→周波数スペクトルがあります。実時間で周期の「短い」信号は、周波数空間では「高い」周波数成分になって現れてくることはご存じでしょう。その相互の変換においてFourier級数やFourier変換を使うことも既にご承知の通りです。 これとの類推で考えれば、「逆格子空間で小さなベクトル」→「実空間で、ゆっくりと変化する波動に対応する」を理解するのはそう難しいことでないと思います。 逆格子は3次元空間での空間周波数を表すために用いられる概念です。 とりあえず空間周波数のお話をします。また3次元だとこの場では回答しにくいので、2次元の空間周波数でお話しします。空間周波数は実空間での波動の「細かさ」を表す概念です。 空間での信号 実空間⇔空間周波数空間 時間変化する信号 時間空間⇔周波数空間 の対応関係があると考えると分かりやすいと思います。 2次元画像信号g(x, y)に対し、その2次元Fourier変換G(u, v)を ∞ ∞ G(u, v)=∫ ∫g(x, y) exp(-j・2π(ux+vy)) dx dy (1) -∞ -∞ と定義します。g(x, y)は具体的には、画像の各点での濃淡値などです。jは虚数単位です。 2次元空間の正弦波(すなわち、縞模様)に対して、G(u, v)が値を有するのはuv平面上のある1点です(*1)。その点がその2次元正弦波の空間周波数ということになります。これは時間軸上の正弦波が、周波数スペクトル上のある1点に対応することと同じです。uやvは長さの逆数の次元を持ちます。uやvを「空間周波数」などと呼びます。(通常はuとvの組のことを指す) 例えば以下の周波数平面の図で、A点はy方向にのみ変化する縞、Bはx方向にのみ変化し周期はそれより長い縞を表します。Cは斜めの縞に対応します。Dはx方向にのみ変化し、周期はBの半分である縞に対応します。 v ↑ ○A │ ×C │ │ B D ───────┼──●──△→u │ │ │ │ ━━━━━━ ┃ ┃ ┃ ┃ ＼＼＼＼＼＼ ┃┃┃┃┃┃┃ ━━━━━━ ┃ ┃ ┃ ┃ ＼＼＼＼＼＼ ┃┃┃┃┃┃┃ ━━━━━━ ┃ ┃ ┃ ┃ ＼＼＼＼＼＼ ┃┃┃┃┃┃┃ ━━━━━━ ┃ ┃ ┃ ┃ ＼＼＼＼＼＼ ┃┃┃┃┃┃┃ Aに対応する縞 Bに対応する縞 Cに対応する縞 Dに対応する縞 つまり、空間周波数空間ではBは原点に近いのですが、その分実空間では周期が長いことになります。Dはその逆で実空間では周期は短いのですが、周波数空間では大きな値を持つ成分であることが分かります。 逆格子空間は3次元で空間周波数を表すための空間です。3次元でも、空間周波数が小さいということは実空間では(空間的に)ゆっくりと振動する波動に対応します。結晶中(周期構造中)の波動を表すためには逆格子空間が便利なため、このような概念が導入されているわけです。 こんな説明でいかがでしょう?
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