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重複の問題・場合の数
7人の人、A,B,C,D,E,F,Gを3つの名前のついていないグループに分けるとき、グループ数が2人、2人、3人になるような分け方は何通りあるか。 まず区別をつけてP(制限人数2人),Q(制限人数2人),R(制限人数3人)にわける。Aから順にP,Q,Rの順に部屋を選んでいくと、それに対応してP2つ,Q2つ,R3つの順列ができるので、7!/(2!2!3!!)・・・・ この後さらに2!で割って終了なのですが、ここまでがわかりません。なんで重複順列になるのでしょうか。 まぁパターンとして覚えてもいいと思いますが、ここを理解しないで覚えるのはちょっと。。。って感じです。 どなたか教えてください。
- dandy_lion
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質問者が選んだベストアンサー
まず７人を並び替えて、最初の二人はP、その後二人がQ、最後の三人がRと考えます。 それぞれグループ内の順序は考えないので、それぞれの人数の階乗で割ります。 よって 7!/(2!2!3!) という重複順列が出来ます。 最後に二人のグループ同士の区別はないので2!で割ります。
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- kkkk2222
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＃４です。 質問が飛んできそうなので、 この手の問題は＜順列＞でも＜組合せ＞でも解けます。 代表的なのは、 最短経路の問題、 りんごＮ個、みかんＭ個、かきＫ個を並べる問題。 本問題を＜順列＞で解くのは、多分はじめてですが、 試みます。 ＡＢＣＤＥＨＧを一列にならべる。 これらを入れ替える順列は７！ ２、２、３に分けるために、縦棒｜を入れます。 ○１○２｜○３○４｜○５○６○７ ○１○２の入れ替え２！ ○３○４の入れ替え２！ ○５○６○７の入れ替え３！ さらにグループ○１○２と、グループ○３○４ は重複してＣＯＵＮＴしているので２！ 解は ７！／２！２！３！２！ ここで＜まさか＞に気が付きました。 数行上に＜重複＞と無意識に書きました。 ＜この重複＞と＜重複順列＞は無関係です。 ＜まさか＞というのは、模範解答が＜順列＞解いてあって、 途中に＜重複＞と言う言葉が出てきたため、 ワザアリ２本で、チョウフクジュンレツになったとか。 ＜まさか＞とは思いますが。
- kkkk2222
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＞＞割ること自体は理解できます。 ＞＞なんで順列になるのでしょうか ＞＞なんで重複順列になるのでしょうか。 本問題は＜重複順列＞の問題ではありません。 ＜組合せ＞の問題です。 ＜重複順列＞はＮ＾Ｍの形です。 貴殿が誤解した理由として、 ７人を、人数に制限をせずに３グループに分ける問題が 本問題の＜近くにある＞と推測します。 ーーー 以上が本論ですが、 ＋アルファ まず、グループに名前をつけて、 Ｐ（２名）、Ｑ（２名）、Ｒ（３名） Ｃ［７、２］＊Ｃ［５、２］＊Ｃ［３、３］ 次に、名前を消し去ると ＰＱＲの順列３！＝６で割るのは不可です Ｒは確定しているので、ＰＱの順列２！＝２で割ります。 ７！ ５！ １ ７！ ―――＊――――＊――＝―――――――＝１０５ ５！２！ ３！２！ ２ ３！２！２！＊２
- zk43
- ベストアンサー率53% (253/470)
A,B,C,…,HをP,Q,Rに割り振るというのを、逆に2つのP、2つのQ、3つの RをA,B,C,…,Hに割り振ると考える。そうすれば、Pには２人、Qには２ 人、Rには３人が対応していることになる。 ABCDEFGHと左から並べて固定させておいて、これに2つのP、2つのQ、 3つのRを割り振るとすると、 PPQQRRR、PQPQRRR、…のようにP,Q,Rの重複順列ができる。
- zk43
- ベストアンサー率53% (253/470)
例えば、 PにA,B、QにC,Dが入っている PにC,D、QにA,Bが入っている のは同じ分け方として数えるので、2で割っているのだと思います。
補足
ありがとうございます。割ること自体は理解できます。ただなんで順列になるのでしょうか。
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お礼
みなさん本当にありがとうございます。