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楕円体の体積は？
siegmundの回答
- siegmund
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積分計算すりゃいいわけですが， そんなことしないで簡単にやりましょう． nanashisan さんの回答パクっているようで， 気が引けています． nanashisan さん，すみません． 楕円体の軸を x,y,z 方向とします． 楕円体の内部を x,y,z 方向に辺が向いた直方体で埋め尽くしてやります． 本当は無限個必要ですが，そこらへんはいい加減で勘弁． 楕円体の体積は(無限個の)直方体の体積の和． で，どれかの軸(例えば x 軸)の方向に楕円体を引き延ばしてやります． そうすると，直方体への分割の様子はそのままですが， 各々の直方体の体積は２倍になります． x 軸方向だけ辺が２倍になるわけですからね． で，楕円体の体積も２倍． 別に２倍に限らず，何倍でも良いわけですから， 楕円体の体積は x 軸方向の長さに比例します． 同様に，y 軸方向の長さにも，z 軸方向の長さにも 比例します． すなわち，楕円体の主軸の長さを 2a, 2b, 2c とすると， (この表現の方が普通のようなので，こうしました) 体積は abc に比例します． a = b = c のとき，楕円体は半径 a の球(体積 4πa^3/3) に帰着しますから，比例係数は 4π/3 のはず． したがって，楕円体の体積は (4π/3)abc です． 同じような議論で，楕円の面積 πab も求められます． なお，楕円体の表面積を問題にするときは， 上のような議論は使えません． 表面積は楕円積分の第１種と第２種が両方入った式になって いたと思いますが，ちょっと思い出せません．
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丁寧で分りやすい説明をありがとうございました。 積分の基本も忘れていて恥ずかしいかぎりです。