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楕円体の体積は?
長軸をa、短軸をbとしたときの楕円体の体積を教えてください。 正確に求めるのは困難だとおもうので、 良い近似値(ここでは正確性より単純性)があれば教えてください。 2b>a>bの範囲です。 また、下記のURLの回答が納得できないので、 それについても御教授ください。 http://oshiete1.goo.ne.jp/kotaeru.php3?q=11507 宜しくお願いします。
- beruze
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長軸と短軸だけを示されているということは、ここでは楕円体でも 「回転楕円体:楕円形を軸に対して回転してできる立体図形」 を指しているのでしょうか。 (x/a)^2 +(y/b)^2=1,z=0 (1) で示される楕円をx軸まわり回転させたとき(^2は2乗を示す)その体積をVとすると V=2π∫y^2dx = 2π{(b/a)^2}∫ (a^2-x^2)dx=(4/3)πa(b^2) となります。(積分区間は0≦x≦a) y軸まわりの回転のときも同様にして、体積=(4/3)π(a^2)bとなります。 (1)で示される楕円をx軸まわり回転させたときできる図形の方程式は (x/a)^2 +(y/b)^2+(z/b)^2=1 (2) となりこれは半径1の球を,x軸方向にa倍,y軸及びz軸方向にb倍したものと考えられ,容易に体積が求まります。先にnanashisan氏が示しているのがこの方法だと思います。 体積=(半径1の球の体積)×a×b×b=(4/3)πa(b^2) 更に次式で表される一般の楕円体 (x/a)^2 +(y/b)^2+(z/c)^2=1 (3) に対しても同様にして 体積=(半径1の球の体積)×a×b×c=(4/3)πabc となります。 ちなみに(1)で表される楕円の面積については,半径1の円をx軸方向にa倍, y軸方向にb倍したものと考えれば 面積=(半径1の円の面積)×a×b=abπ となります。旧課程の高校数学の「代数・幾何」では1次変換とからめてよくこのての問題が扱われていました。 参考になれば幸いです。
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- siegmund
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積分計算すりゃいいわけですが, そんなことしないで簡単にやりましょう. nanashisan さんの回答パクっているようで, 気が引けています. nanashisan さん,すみません. 楕円体の軸を x,y,z 方向とします. 楕円体の内部を x,y,z 方向に辺が向いた直方体で埋め尽くしてやります. 本当は無限個必要ですが,そこらへんはいい加減で勘弁. 楕円体の体積は(無限個の)直方体の体積の和. で,どれかの軸(例えば x 軸)の方向に楕円体を引き延ばしてやります. そうすると,直方体への分割の様子はそのままですが, 各々の直方体の体積は2倍になります. x 軸方向だけ辺が2倍になるわけですからね. で,楕円体の体積も2倍. 別に2倍に限らず,何倍でも良いわけですから, 楕円体の体積は x 軸方向の長さに比例します. 同様に,y 軸方向の長さにも,z 軸方向の長さにも 比例します. すなわち,楕円体の主軸の長さを 2a, 2b, 2c とすると, (この表現の方が普通のようなので,こうしました) 体積は abc に比例します. a = b = c のとき,楕円体は半径 a の球(体積 4πa^3/3) に帰着しますから,比例係数は 4π/3 のはず. したがって,楕円体の体積は (4π/3)abc です. 同じような議論で,楕円の面積 πab も求められます. なお,楕円体の表面積を問題にするときは, 上のような議論は使えません. 表面積は楕円積分の第1種と第2種が両方入った式になって いたと思いますが,ちょっと思い出せません.
お礼
丁寧で分りやすい説明をありがとうございました。 積分の基本も忘れていて恥ずかしいかぎりです。
- nanashisan
- ベストアンサー率9% (16/172)
球の体積 × 引っ張って伸ばした比率
お礼
確かにそのとおりです。 http://www.ne.jp/asahi/prostate/psa/h/nich57.html を読んだために悩んでしまいました^^;
- stomachman
- ベストアンサー率57% (1014/1775)
楕円体ということだと、軸が3本あるんですよ。a,bだけだと楕円の面積の話になります。お知りになりたいのはどっちだろ?
お礼
すみません。説明が足りませんでした。 回転楕円体で軸はa,b,bでしたがもう解決しました。 ありがとうございました。
- Durandal
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楕円の面積の求め方は判りますか? 判れば簡単。軸を決めて積分してやればパーフェクト。
お礼
ありがとうございました。 解決しました。
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お礼
言われてみればそのとおりです。 ところで、 http://www.ne.jp/asahi/prostate/psa/h/nich57.html の最後の方の「過少評価される傾向」はなぜ出てくるのでしょう?
補足
お礼に示したURL先の「過少評価される傾向」 が分りました^^; 前立腺を計ってるんでしたね・・・ 完全な長楕円体を計測しているものだと、 頭の中で置き換わってました^^;