ある式の解が常に整数って事あるの？

質問

とある掲示板の式の証明が気になりました。

http://www.play21.jp/board/formz.cgi?action=res&resno=901&page=&id=dixq&rln=935#935

このような式で表されるanは常に整数だということなんです。
分母を常に変更しているのに何故常に整数でいられるんでしょうか？
疑問に思ったのでお聞きいたしました。

回答No.2

Segenswind

とりあえず。

リンク先の説明では、式の立て方がおかしいですね。
エヌがいくつもあると紛らわしいので、
ここでは異なるＱ個のものからＲ個のものを取り出す取り出し方
ということで考えてみますと、
（添字はアンダーバー を使って「A_n」のように示します）

n = 1, 2, ..., R
A_1 = Q
A_n = A_(n-1) * {Q-(n-1)} / n

だと思います。A_0 を設定する必要があるときは、
A_0 = 1 とすれば、
A_1 = A_(1-1) * {Q-(1-1)} / 1
　　= A_0 * Q
　　= 1 * Q
　　= Q

となり、同じことになります。

さて、漸化式を使わずに一般項の形で書きますと、任意の A_n について、

A_n = A_1 * {(Q-1) / 2} * {(Q-2) / 3} * ... * {(Q-(n-1)) / n}
　　= A_1 * ((Q-1)*(Q-2)*...*(Q-(n-1)) / (2*3*...*n)
　　= Q * {(Q-1)! / (Q-n)!} / n!
　　= {Q! / (Q-n)!} / n!

となります。（ ! は階乗記号）
後はNo.1さんの要領ですね。

回答No.1

noname#21330

すみません。
どの式ですか？
組み合わせのＣですか？
たとえば、17Ｃ４ならば、
(17*16*15*14)/(4*3*2*1)
となり、分子は４つの数字が順番に並びますので、
4の倍数も、3の倍数も、2の倍数も絶対に含み、整数となります。

お礼

なるほど！簡単なことだったんですね＾＾；
ありがとうございました！
しちなみにリンク先に式は画像があったと思うんですが？？