微分の微分

質問

微分の微分は、
d^2y/dx^2=(dy'/dt)/(dx'/dt)=y''/x'
と習ったのですが、
どうして
y'' を x'で割らなければいけないのですか？
y''を求めるのだから、y'をもう一度微分すればいいのに、
と思うのですが。。。

例えば、x= sin t
y=t^2+7t+3 があります。
dy/dx(←実はこれもなん式なのかよく分かっていませんが、、、)は、
y'/x'= (2t+7)/cos t ですよね。
それで、さらに、それを微分したいのですが、
その時に、私は
{(2t+7)'*cost－(2t+7)*(cost)'}／(cost)^2
だけで良いと思うのに、本当はそれを x'で割るのですよね。
それで、答えは
{2cost+(2t+7)(sint)}/(cost)^3 としなければいけないのが
不思議でたまりません。

解説を宜しくお願いします。

回答No.8

starflora · ベストアンサー

すでに多くの方の回答がありますが、基本的なことの指摘がないように思いますので、あえて回答させていただきます。

　　＞微分の微分は、
　　＞d^2y/dx^2=(dy'/dt)/(dx'/dt)=y''/x'
　　＞と習ったのですが

　　それは、記憶違いで、そんな公式はありません。「ない公式」を使って計算すると変な結果が出てくるのは当然ですし、納得行かないことが起こるのも当然です。幸い、微分についてはご存じのようですから、記号の定義を、もう一度確認すれば、疑問は氷解します。

　　ｘの関数ｙを、ｘで微分するのを、記号で、dy/dx と書きます。
　　ｘの関数ｙの微分（＝dy/dx）を、更にｘで微分する場合は、d(dy/dx)/dx となるのですが、これを、簡単な記号で、d^2y/dx^2 と書きます。「^2」が付いている位置に注意してください。こういう感じで、記号としては：

　　ｘの関数ｙを、ｘで微分する　→　dy/dx
　　ｘの関数ｙを、ｘで二回微分する　→　d^2y/dx^2
　　ｘの関数ｙを、ｘで三回微分する　→　d^3y/dx^3
　　……

　　こういう風に記号で表します。こういう記号を使うのは、合理的理由があるのですが、それはとまれです。

　　ところで、「何で微分するか」が、筆者にも読者にも、明らかである場合は、上の記号で示した微分を、左上のダッシュの数で示します。つまり、y' y'', y''' などです。しかし、これは、微分するのが、ｘとか決まっている場合にのみ使います。物理では、普通、時間ｔで微分する時、この省略記号を使います。それ以外の変数の場合は、混乱が起こるので、dy/dt を y' などで表す以外、普通、使用しません。まさに、混乱が起こるからです。

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　　どうもおかしい気分なので、最初の誤りだという公式について考えてみます。

　　d^2y/dx^2 = d[(dy/dt)/(dx/dt)]/dx
　　この式を変形して
　　＝ {d[(dy/dt)/(dx/dt)]/dt}{dt/dx}
　　＝ {d[(dy/dt)/(dx/dt)]/dt}/{dx/dt}

　　これは、ｙとｘが何かのパラメータ変数（例えばｔ）で規定されている時の、ｔによる二階微分の解法の式です。その意味では「誤り」ではないのですが、最初に提示されている公式は：

　　d^2y/dx^2=(dy'/dt)/(dx'/dt)=y''/x'　です。

　　しかし、これは、dy'/dt＝y'' のはずで、そうなら、dx'/dt＝x''　で、だから誤りだと述べたのです。
　　y'=dy/dt=2t+7　→　y''=dy'/dt=2
　　x'=dx/dt=cos t　→　x''=dx'/dt= -sin t
　　これは、どう考えても正解はでません。

　　従って、記憶違いで、そんな公式は「ない」と述べたのです。計算間違いの問題ではありません。

　　＞ d^2y/dx^2=(dy'/dt)/(dx'/dt)=y''/x'

　　こんな公式がおかしいのです。